文档介绍：第四节对面积的曲面积分
surface integral
概念的引入
对面积的曲面积分的定义
对面积的曲面积分的计算法
小结思考题作业
1
实例
解
第一步:
将Σ分为许多极其微小的子域,
的质量为:
第二步:
求和取极限
则
取
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
光滑的,
它的面密度为连续函数
求它的质量.
对面积的曲面积分
一、概念的引入
2
1. 定义
函数 f(x, y, z)在Σ上
任意取定的点,
并作和
如果当各小块曲面的直径
这和式的极限存在,
则
的最大值
①
②
③
④
对面积的曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义
第i 小块曲面的面积),
作乘积
设曲面Σ是光滑的,
同时也表示
有界.
把Σ任意分成n小块
3
或
记为
即
如曲面是
曲面元素
被积函数
则积分号写成
积分曲面
称
极限为函数
对面积的曲面积分
第一类曲面积分.
闭曲面,
对面积的曲面积分
4
2. 存在条件
在光滑曲面Σ上
今后,假定
的曲面积分存在.
对面积
连续,
对面积的曲面积分
3. 对面积的曲面积分的性质
òò
+
2
d
)
,
,
(
S
S
z
y
x
f
5
补充
设分片光滑的
x的奇函数
x的偶函数
其中
则
曲面Σ关于yOz面对称,
对面积的曲面积分
6
4. 对面积的曲面积分的几何意义
空间曲面Σ的面积:
5. 对面积的曲面积分的物理意义
面密度为连续函数
的质量M为:
对面积的曲面积分
其质心坐标为:
7
则
按照曲面的不同情况分为以下三种:
思想是:
化为二重积分计算.
(1)
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
8
则
则
(2)
(3)
对面积的曲面积分
)
,
(
z
x
y
z
x
y
y
z
x
d
d
1
2
2
+
+
:
S
若曲面
9
确定投影域并写出
然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数,
对面积的曲面积分时,
首先应根据
化为二
曲面Σ选好投影面,
曲面Σ的方程,
重积分进行计算.
对面积的曲面积分
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