文档介绍：第十章曲线积分与曲面积分
§1 对弧长的曲线积分
计算公式:无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
若,则
若,则
注意:上限一定要大于下限
计算下列对弧长的曲线积分
(1),其中为圆周;
解:法一:
法二:,
(2),其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; A
B
解:,其中
,,
(或)
故
(3),其中为抛物线上介于与之间的一段弧;
解:由,得
(4),其中为摆线的一拱;
解:
(令)
(5),其中为圆周;
解:利用对称性,其中
(6),其中为曲线,,上相应于从0变到2的弧段;
解:
(7),其中为空间圆周: .
解:由,得,令
故。故
螺旋形弹簧一圈的方程为: ,设它的线密度为,求:
它关于轴的转动惯量;(2)它的重心坐标.
(1)
(2)
(分子采用分部积分法)
=
§2 对坐标的曲线积分
无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
1计算公式:若,(其中分别始点和终点对应的参数),则
若,(其中分别始点和终点对应的参数),则
注意:(1)对定向曲线才能说对坐标的曲线积;定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数方程的不同:
定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小:
未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式:
(2)①弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限
②对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数,下限是始点的参数,而不管上限是否一定要大于下限
2:两类曲线积分的关系
定向曲线的切向量及其方向余弦
若
①当时
切向量为:;
方向余弦为
②当时
切向量为:;
方向余弦为
类似可以推广到空间曲线。
两类曲线积分的关系
其中为定向曲线切向量的方向余弦
注意:把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。
把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分,其中为:
(1)从点(0,0)沿抛物线到点(1,1);
解:,由,故在处切向量为,所以
,所以
(2)从点(0,0)沿上半圆周到点(1,1).
解:,由,故在处切向量为,所以
,所以
(或)
法二,由,
故切向量为,即
所以
,
,所以
计算下列对坐标的曲线积分:
(1),其中为抛物线上从点(0,0)到(2,4)的一段弧;
解:由,得
O
A
a
(2),其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧(按逆时针方向);
解:,
其中,
(注意此方程不是的极坐标方程,故不能说在极坐标系下的范围,事实上极坐标方程为,故在极坐标系下的范围为)
故
(3),为从点(1,0)到点(-1,0)的上半椭圆周;
解:由,得
(4),其中为圆周(按逆时针方向);
解:由,得
(5),其中为椭圆周:,且从轴正方向看去,取顺时针方向;
解:由得,故
(注意:易知,所以
=
(6),其中是曲线:上由0到的一段弧.
解:
,其中:(1)抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
(3)曲线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.
解:(1)由,得
(2)由,得
(3)由,得
: 其中为平面上光滑曲线的长度.
(提示:转化为对弧长的曲线积分)
证明:
其中是切向量的方向余弦,故满足。
§3 Green公式
用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积:
(1)椭圆:;
解:若:,则
(2)星形线:,.
解:若:,则

(1),其中为圆周,取逆时针方向;
(2),其中为闭区域的正向边界.
解:(1),
又逆时针方向,设,所以
(注意,为什么?)
(2)
所以
(其中
所以)
,其中为圆周(按逆时针方向);
解
(1)故当时,在所围的区域内有连续偏导,满足格林公式条件。
(2)故当时,所围的区域含有点,故在区域有点没有连续偏导,不满足格林公式条件。不能直接用格林公式条件。
做曲线(取得足够小保证含在所围区域)方向为逆时针,即。
则曲线围成复连通区域且为的正向边界。