文档介绍：《通信原理》第五讲

§ 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程,在通信领域中占有重要
地位。
一、定义
设随机过程{ξ(t) ,t∈T },若对于任意 n 和任意选定的
以及 h 为任意值,且,有
t1 < t2 < L < tn ,tk ∈T,k = 1,2,L,n, x1 , x2 ,L, xn ∈ R
f (x ,x , ,x ;t ,t , ,t )
n 1 2 L n 1 2 L n (-1)
= f n (x1 , x2 ,L, xn ;t1 + h,t2 + h,L,tn + h)
则称ξ(t) 是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。具体到它的一维分布,则与时
间 t 无关,而二维分布只与时间间隔τ有关,即有
f1 (x1,t1 ) = f1 (x1 ) (-2)
和
f 2 (x1 , x2 ;t1 ,t2 ) = f 2 (x1 , x2 ;τ) (-3)
设有一个二阶矩随机过程ξ(t) ,它的均值为常数,自相关函数仅是τ的函
数,则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。一个严平稳随机过程只要它
的均方值 E[ξ 2 (t)]有界,则它必定是广义平稳随机过程,但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声,大多数可视为平稳的随机过程。
二、各态历经性
假设 x(t) 是平稳随机过程ξ(t) 的任意一个实现,它的时间均值和时间相关函
数分别为
1 T / 2
a = x(t) = lim x(t)dt
T →∞∫−T / 2
T (-6)
1 T / 2
R(τ) = x(t)x(t +τ) = lim x(t)x(t +τ)dt
T →∞ T ∫−T / 2
如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立
⎧ a = a
⎨(-7)
⎩ R(τ) = R(τ)
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义:随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能
状态。因此,我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数
字特征,从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为
简化。
注意:具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程,但平稳随机过程不
一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般均能满足各态
历经条件。
三、平稳随机过程自相关函数的性质
设ξ(t) 为实平稳随机过程,则它的自相关函数
R(τ) = E[(ξ(t)ξ(t + τ)] (-8)
具有下列主要性质:
(1) R(0) = E[ξ 2 (t)] = S [ξ(t) 的平均功率] (-9)
(2) R(∞) = E 2 [ξ(t)] [ξ(t) 的直流功率] (-10)
(3) R(τ) = R(−τ) [τ的偶函数