文档介绍：例析抛物线在生活中的应用
山东
抛物线的几何特性在实际中应用广泛,解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系,求出抛物线方程,充分利用抛物线的几何性质,通过方程解决实际问题.
例1 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成,尺寸如图(单位:m),一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,,此车能否通过隧道?说明理由.
分析:,将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.
解:建立坐标系如图1,设矩形与抛物线的接点为A、B,则.
设抛物线方程为,将B点坐标代入得.
∴抛物线方程为。
∵,∴ .
设抛物线上点D的坐标为.
,故此车不能通过隧道.
点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题,通常建立直角坐标系,利用抛物线的标准方程解决,注意建系后坐标的正负与其实际意义。
例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧,它的口宽是的,杯深20,在杯内放一玻璃球,玻璃球的半径r取何值时,才能使玻璃球触及杯底?
分析:解决要点就是建立恰当坐标系,将实际问题转化为抛物线问题,再转化为代数问题.
解:在酒杯轴截面内,玻璃球成了位于抛物线内的一个圆,以抛物线的顶点
为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2,
则抛物线方程可设为,依题意得点在抛物线上,
故抛物线的方程为,
若玻璃球触及杯底,圆与x轴切于原点,这时圆心坐标为,
在抛物线上任取一点,则
,。
故当玻璃球的半径r取值范围为时,才能使玻璃球触及杯底.
点评:本题关键将实际问题转化为抛物线问题,再转化为代数问题,利用二次函数求最值的方法使问题获解。
例3已知探照灯的轴截面是抛物线,如图所示,表示平行于对称轴轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况,设点P的纵坐标为,取何值时,从入射点P到反射点Q的光线的路程最短?
分析:关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.
解:由抛物线的光学性质,知光线PQ必过抛物线的焦点.
设P点的坐标为,则直线PQ的方程为:,
即联立,解得,
由图3可知,
根据抛物线的定义得,
当且仅当,即时等号成立.
∴当从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.
点评:从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上,经反射后平行与抛物线的轴;反之,平行抛物线的光线照到抛物线上,经反射后通过焦点,这一光学性质被广泛应用于各种设计中。