文档介绍：第七章第七章离散系统分析离散系统分析
离散系统,又称采样控制系统。在该系统中,
有一个或多个变量仅在离散的瞬时发生变化。计算
机控制系统是其一个重要的应用。
第一节连续信号的采样与复现
采样:将模拟信号按一定时间间隔循环进行取
值,从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过
程称为采样。
复现:将采样后的离散信号恢复为连续信号的
过程称为信号的复现。
经采样得到的离散信号,虽在时间上离散,但
在幅值上还是连续的。若通过模数转换器,将幅值
上连续的离散信号变成数码形式的信号,即进行整
量化,则时间上离散化、幅值上整量化后的信号,
就称为数字信号。
采样过程及其数学描述
采样器是以一定周期重复开、
关动作的采样开关,采样开关的输
出为采样信号。
采样器调制后的采样信号为
∞
*
f (t) = f (t)δ T (t) = ∑ f (t)δ(t − kT)
k =−∞
∞
f * (t) = ∑ f (t)δ(t − kT)
k =0
∞
f * (t) = ∑ f (kT)δ(t − kT)
k=0
保持器
保持器将离散信号转换为连续信号,近似重现
作用在采样器上的信号。
零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样
瞬时之间保持常量的信号,其传递函数为
1 − e −Ts
G =
h s
采样定理
假设连续信号 f (t) 不包含任何大于ω1 的频率分
量,则Shannon采样定理可描述为:
若ωs = 2π/T > 2ω(式中:1 T 为采样周期,2ω1 相当
于连续信号 f (t) 的频谱),则信号 f (t)可以完整地从
采样信号 f * (t) 恢复过来。
第二节 z 变换
¾ z变换的定义
设采样后的离散信号为
∞
f * (t) = ∑ f (kT)δ(t − kT)
k=0
∞
F * (s) = L[ f * (t)] = ∑ f (kT)e−kTs
k=0
令z = eTs ,将写F * (s) 成,F(z) 得
∞
* −k
F(z) = F (s) 1 = f (kT )z
s= ln z ∑
T k =0
z 变换定义
∞
F(z) = Z[ f * (t)] = ∑ f (kT )z −k
k =0
注意:F(z)表示对离散信号 f * (t) 的z 变换,只表
征连续信号在采样时刻的信息,但习惯上称 F(z) 是
f (t) 或 F(s) 的z变换,即
∞
Z[ f (t)] = Z[ f * (t)] = F(z) = ∑ f (kT)z −k
k=0
z 变换性质
线性定理
设 f1(t) 和 f2 (t) 的z 变换分别为F1(z) 和F2 (z) ,a1 和
a2 为常数,则
Z[a1 f1 (t) + a2 f 2 (t)] = a1F1 (z) + a2 F2 (z)
滞后定理
Z[ f (t − kT)] = z −k F(z)
超前定理
k −1
Z[ f (t + kT )] = z k F(z) − z k ∑ f (iT )z −i
i=0
z 变换性质
终值定理
如果 F(z) 在 z >1时收敛,且(z −1)F(z)的所有极
点均位于单位圆内,则
lim f (t) = lim f (kT ) = lim(z −1)F(z)
t→∞ k→∞ z→1
初值定理
如果 lim F(z) 存在,则
z→∞
lim f (kT ) = lim F(z)
k→0 z→∞
z 变换方法
级数求和法
例1 求单位阶跃函数的z 变换。
∞
−k −1 −2 z
解 F(z) = Z[1(t)] = ∑1(kt)z = 1+ z + z +L =
k=0 z −1
例2 已知 f (t) = e−aT ,a > 0,求 Z[e−aT ] 。
∞
− at − akT − k − aT −1 − 2 aT − 2
解 Z [e ] = ∑ e z = 1 + e z + e z + L
k = 0
z
=
z − e − aT