文档介绍：构造法之构造几何图形
构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质,构造满足条件或结论的数学对象,并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题,关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,进行构造,往往能促使问题转化,使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来,从而恰当地构造数学模型,进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题,分成几个专题,方便大家学****br/> 例1:已知,则x 的取值范围是()
A    1≤x≤5   B x≤1    C1<x<5   D x≥5
分析:根据绝对值的几何意义可知:表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3,只要表示数的点落在1和5之间(包括1和5),那么它到1与5的距离之和都等于4,所以1≤ x≤5,故选A。
.
分析:本题单纯用代数方法处理,简直无从下手,注意式中的特征,构造直角三角形,转化为在直线上求一点,使它到两定点的距离之和最小.
B
P
图4
A
C′
C
D
D
图3
A
B
C
P
解:如图3,作AB=4,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=1,BD=2,P为AB上一点,设AP=,则,问题转化为找出P点的位置,使PC+,作C关于AB的对称点C′,连结C′D交AB于P,由⊿PAC′∽⊿PBD,得,求得,所以的最小值是5.
例3: 已知x,y,z∈(0,1),求证: x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
证:构造边长为1的正△ABC,D,E,F为边上三点,
z
D
并设BD=x,CE=y, AF=z,如图1
C
E
y
x
F
B
显然有S△BDE+S△CEF+S△ADF <
即x(1-y)+ y(1-z)+ z(1-x)<
例4正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k,求证:aB+bC+cA<k2
此题有多种证法,仅构造法证法就有下列几种,可见数学的魅力。
   证明一:由求证的不等式联想到面积关系,由所设条件联想到构造以边长为k的正三角形,如下图所示:
     
   由S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQR 即证。
证明二:由求证的不等式联想到面积关系,由题设条件式联想到以边长为k的正方形。如下图所示。
       
    由图即证。
证明三:以上两种证法是联想到面积,那么联想到体积可以吗?
   不妨构造棱长为k的正方形,则有
   k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA)
   显然k3>k(aB+bC+cA)
   得证。
证明四:还可联想函数式,构造以c(或a或b)为变量字母的一次函数式:
   f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0<c<k)
   此函数式的图象是无端点的线段,且f(0)<0,f(k)<0
   ∴f(c)<0
   得证。
例5: 试证:对任何,都有
,当有仅当时等号成立。
观察题目特点,从联想到余弦定理,可以构造三角形,同理,另两个根式也可构造三角形,利用几何图形进行证明。
根据