文档介绍：归纳小结
,在解题时,若未指明集合非空,则要考虑到集合为空集的可能性.
,如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用.
第2课时集合的运算
基础过关
一、集合的运算
:由的元素组成的集合,叫做集合A与B的交集,记作A∩B,即A∩B= .
:由的元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B= .
:集合A是集合S的子集,由的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集,记作,即= .
二、集合的常用运算性质
∩A= ,A∩= ,A∩B= ,B∩A,A∪A= ,
A∪= ,A∪B=B∪A
2.= ,= , .
3. ,
,
∪B=A
A∩B=A
典型例题
例1. 设全集,方程有实数根,方程
有实数根,求.
解:当时,,即;
当时,即,且∴,
∴
而对于,即,∴.
∴
=B=
(1)当m=3时,求;
(2)若AB,求实数m的值.
解: 由得∴-1<x≤5,∴A=.
(1)当m=3时,B=,则=,
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意,故实数m的值为8.
例2. 已知,或.
(1)若,求的取值范围;
(2) 若,求的取值范围.
解:(1), ∴,解之得.
(2) , ∴. ∴或, 或
∴若,则的取值范围是;若,则的取值范围是.
变式训练2:设集合A=B
(1)若AB求实数a的值;
(2)若AB=A,求实数a的取值范围;
(3)若U=R,A()=.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
(1)∵AB∴2B,代入B中的方程,
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时,B=满足条件;
当a=-3时,B=满足条件;
综上,a的值为-1或-3.
(2)对于集合B,
=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A,∴BA,
①当<0,即a<-3时,B=,满足条件;
②当=0,即a=-3时,B,满足条件;
③当>0,即a>-3时,B=A=才能满足条件,
则由根与系数的关系得
即矛盾;
综上,a的取值范围是a≤-3.
(3)∵A()=A,∴A,∴A
①若B=,则<0适合;
②若B≠,则a=-3时,B=,AB=,不合题意;
a>-3,此时需1B且2B,将2代入B的方程得a=-1或a=-3(舍去);
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
综上,a的取值范围是a<-3或-3<a<-1-或-1-<a<-1或-1<a<-1+或a>-1+.
例3. 已知集合A=B,试问是否存在实数a,使得AB 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:方法一假设存在实数a满足条件AB=则有
(1)当A≠时,由AB=,B,知集合A中的元素为非正数,
设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系,得
(2)当A=时,则有=(2+a)2-4<0,解得-4<a<0.
综上(1)、(2),知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是(-4,+∞).
方法二假设存在实数a满足条件AB≠,则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1,x2至少有一个为正,
因为x1·x2=1>0,所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系,得解得
又∵集合的补集为
∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是(-4,+∞).
={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.
解:假设A∩B≠,则方程组
有正整数解,消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数,∴a=±1,
当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-=1时,代入(*),
解得x=1或x=2,=1,使得A∩B≠,
此时A∩B={(1,1),(2,3)}.
小结归纳
例4. 已知A={x|x2-2ax+(4a-3)=0,x∈R},又B={x|x2-2ax+a2+a+2=0,x∈R},是否存在实数a,使得AB=?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
解:1<a<2即实数(1,2)时,=.
,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.(1)求;(