第四章 静态场的解.ppt

文档介绍：第四章静态场的解
边值问题的分类
唯一性定理
镜像法
分离变量法
复变函数法
格林函数法
有限差分法
边值问题的分类
第一类边值问题: 给定整个边界上的位函数值;
第二类边值问题: 给定边界上每一点位函数的法向导数;
第三类边值问题:给定一部分边界上每一点的电位, 同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。
给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。
唯一性定理
格林公式
在上式中,令F=φΨ, 则
即
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向,即闭合面的外法向。
该式称为格林第二恒等式。
唯一性定理
设在区域V内,φ1和φ2满足泊松方程,即
在V的边界S上,φ1和φ2满足同样的边界条件, 即
令φ=φ1-φ2,则在V内,▽2φ=0,在边界面S上,φ|S=0。在格林第一恒等式中,令Ψ=φ,则
由于▽ 2φ=0,所以有
在S上φ=0,因而上式右边为零,因而有
镜像法
平面镜像法
例 4-1 求置于无限大接地平面导体上方,距导体面为h处的点电荷q的电位。
图 4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
当z>0 时,▽2φS=0;
当z=0时,φ=0;
当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时,φ→0。
解:
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度:
导体表面总的感应电荷: