文档介绍：第三章线性系统的时域分析
【教学目的】
※熟悉系统时间响应、性能指标的概念及求法
※了解稳态误差的相关知识
【教学重点】
※时间响应的基本概念
※二阶系统的阶跃响应及欠阻尼状态下的性能指标及参数的求取
※误差及稳态误差的概念
※位置误差、速度误差和加速度误差的计算
【教学难点】
※二阶系统的时间响应
※干扰作用下的系统误差的计算
【教学方法及手段】
采用板书讲授的方式,将二阶系统在不同阻尼下的时间响应进行对比讲解,并将各种阻尼状态下的极点分布进行比较,画在一个复平面上,通过绘制响应曲线来表明各性能指标在图上的位置,帮助学生对概念的理解。
【学时分配】
8课时
【教学内容】
对于一个实际的系统,在建立数学模型之后,就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。
时域分析法是直接求解系统的微分方程, 即利用拉氏变换和拉氏反变换求解,然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观,应用范围广。
本章主要介绍系统的时间响应及其组成,并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析,最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。
3-1 时间响应
时间响应的概念
系统在外加作用激励下,其输出量随时间变化的函数关系,称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。
任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。
瞬态响应:系统受到外加作用激励后,从初始状态到最终状态的响应过程。
稳态响应:时间趋于无穷大时,系统的输出状态。
瞬态响应反映了系统动态性能。
稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。
3-2 一阶系统的时间响应
1、一阶系统的数学模型
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
a图示的RC电路,其微分方程为
其中C(t)为电路输出电压,r(t)为电路输入电压,T=RC为时间常数。
一阶系统电路图、方块图及等效方块图
当初使条件为零时,其传递函数为
T-时间常数
下面分别就不同的典型输入信号,分析该系统的时域响应。
2、一阶系统的单位阶跃响应(Unit-Step Response of First-order System)
因为单位阶跃函数的拉氏变换为,则系统的输出为
对上式取拉氏反变换,得
一阶系统单位阶跃响应的特点
※响应分为两部分
瞬态响应:
表示系统输出量从初态到终态的变化过程(动态/过渡过程)
稳态响应:1
表示t→∞时,系统的输出状态
※ xo(0) = 0,随时间的推移, xo(t) 指数增大,且无振荡。xo(∞) = 1,无稳态误差;
※ xo(T) = 1 - e-1 = ,即经过时间T,%,从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T;
※当t=0时,初始斜率为
※时间常数T是重要的特征参数,它反映了系统响应的快慢。T越小,C(t)响应越快(上升速度越快),达到稳态用的时间越短。即系统的惯性越小。反之,T越大,系统的响应速度越慢,惯性越大,达到稳态用的时间越长。
※通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时,认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
3、一阶系统的脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时,Xi(s)=1,输入量的拉氏变换于系统的传递函数相同,即
一阶系统单位脉冲响应的特点
※瞬态响应:(1/T )e – t /T ;稳态响应:0;
※ xo(0)=1/T,随时间的推移,xo(t)指数衰减;
※
※对于实际系统,通常应用具有较小脉冲宽度()和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
※同样满足上述规律,即T越大,响应越慢,无论哪种输入信号都如此。
对于一阶系统:
即:系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。
此规律是线性定常系统的重要特征,不适用于线性时变系统及非线性系统。
3-3 二阶系统的时间响应
1、二阶系统的数学模型
凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统。
例:
二阶系统的传递函数的标准形式为:
其中,T—为时间常数,也称为无阻尼自由振荡周期。
-自然频率(或无阻尼固有频率)
-阻尼比(相对阻尼系数)
二阶系统的标准形式,相应的方块图如图所示
二阶系统的动态特性,可以用和这两个参量的形式加以描述
2、二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的特征方程:
特征根为:
下面分四种情况进行说明:
(1)欠阻尼()
令-衰减系数
-阻尼振荡角频率
,得
h(t)