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函数图像中的美丽奥秘
喻晓
(周恩来政府管理学院政治学与行政学 1112756)
摘要:笛卡尔坐标系的诞生将函数和几何通过函数图像美妙地结合在一起,建起抽象和形象之间的桥梁。函数图像在提供最直观的美感同时,更能在将图像用函数统一表示的过程中升华出美的固定规律性。从此,感性的不可捉摸的艺术美可以通过数学进行理性的定量分析。本文通过探索函数图像中的美丽奥秘,总结美丽函数图像的特点,深入探讨感官美的数理本质。
关键字:函数图像美丽坐标系
从一个数学家的凄美故事讲起
当时法国正流行黑死病,生于17世纪的笛卡尔流浪到瑞典,与18岁公主克里斯汀相识,并成为公主的数学老师。笛卡尔将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀,直角坐标当时也只有这对师生才懂。后来,他们之间有了不一样的情愫,发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中,国王于是将笛卡尔放逐回法国,并将克丽丝汀软禁。
笛卡尔一回到法国后就染上了黑死病。笛卡尔不断地写信到瑞典给克丽丝汀,但却都被拦截没收。在笛卡尔快要死去的时候,他寄出了第13封信,
这封信的内容只有短短的一行......
r=a(1-sinθ)
国王拦截到这封信之后,拆开看发现并不是一如往常的情话。所以,就把信交给克丽丝汀。克丽丝汀收到这封信雀跃无比,并立刻动手研究这行字的秘密。
没多久就解出来了,用的就是直角坐标图
当θ=0°时,r=a(1-0)=a …… A点
当θ=90°时,r=a(1-1)=0 …… B点
当θ=180°时,r=a(1-0)=a …… C点
当θ=270°时,r=a(1+1)=2a …… D点
图1 笛卡尔心脏线
a为四截距的比值
而 B点是原点(0,0) ,这要靠点想象,把A,B,C,D四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线(见图1)。
这就是笛卡尔和克丽丝汀之间秘密数学式。传说,这第13封的另类情书还保留在欧洲的笛卡尔纪念馆里。
正如笛卡尔所写的心形函数一样,还有许多函数的图像非常美丽。
首先我们引入圆锥曲线的定义:二元二次方程所表示的是圆锥曲线,而根据判别式的不同,包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化模型。根据焦点-准线观点(严格来讲,这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形,因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛,并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。), 给定一点P,一直线L以及一非负实常数e(),则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线,根据e的范围不同,曲线也各不相同,具体如下:1) e=0,轨迹退化为圆。 2) 0<e<1,轨迹为椭圆。 3) e=1(即到P与到L距离相同),轨迹为抛物线。 4) 1<e<∞,轨迹为双曲线。注意:虽然只有一个点和一条线,但可以得到双曲线两个分支 5) e=∞,轨迹退化为一直线(就是L)。笔者在研究圆锥曲线的图像时,发现当a=17,b=-16,c=17,d=e=0,f=-225时,其图像是一个焦点在y=x上的椭圆,当a=17,b=16,c=17,d=e=0,f=-225时,其图像是一个焦点在y=-x上的椭圆,将两个椭圆放一起时,如图2。而且当a越大时,椭圆长半轴变短,a越小时,椭圆长半轴越长,直到e趋于无穷,椭圆逼近一条直线。当c越大时,椭