文档介绍：2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(理工类)
参考公式:
如果事件互斥,那么球的表面积公式
如果事件相互独立,那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径
第一部分(选择题共60分)
注意事项:
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、的展开式中的系数是( )
A、 B、 C、 D、
2、复数( )
A、 B、 C、 D、
3、函数在处的极限是( )
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
4、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )
A、 B、 C、 D、
5、函数的图象可能是( )
6、下列命题正确的是( )
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )
A、 B、 C、 D、且
8、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A、 B、 C、 D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )
A、 B、 C、 D、
11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数,是公差为的等差数列,,则( )
A、 B、 C、 D、
第二部分(非选择题共90分)
注意事项:
(1),作图题可先用铅笔绘出,。答在试题卷上无效。
(2)本部分共10个小题,共90分。
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)
13、设全集,集合,,则___________。
14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________。
15、椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________。
16、记为不超过实数的最大整数,例如,,,。设为正整数,数列满足,,现有下列命题:
①当时,数列的前3项依次为5,3,2;
②对数列都存在正整数,当时总有;
③当时,;
④对某个正整数,若,则。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;
(Ⅱ)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望。
18、(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形。
(Ⅰ)求的值及函数的值域;
(Ⅱ)若,且,求的值。
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,,,,平面平面。
(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。