南大数值分析课件§3 厄米插值.ppt

文档介绍：§3 厄米插值/* Hermite Interpolation */
不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。
即:要求插值函数(x) 满足(xi) = f (xi), ’(xi) = f ’(xi),
…, (mi) (xi) = f (mi) (xi).
注: N 个条件可以确定阶多项式。
N  1
要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式
其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
§3 Hermite Interpolation
例:设 x0  x1  x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi),i = 0, 1, 2,且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。
模仿 Lagrange 多项式的思想,设
解:首先,P 的阶数=
3


+
=
2
1
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
0
i
i
i
x
h
x1
f ’
x
h
x
f
x
P

h0(x)
有根
x1, x2,且 h0’(x1) = 0  x1 是重根。
)
(
)
(
)
(
2
2
1
0
0
x
x
x
x
C
x
h
-
-
=
又: h0(x0) = 1  C0
h2(x)
h1(x)
有根 x0, x2 
)
)(
)(
(
)
(
2
0
1
x
x
x
x
B
Ax
x
h
-
-
+
=
由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。
与h0(x) 完全类似。
(x)

h1
有根 x0, x1, x2 

h1
)
)(
)(
(
)
(
2
1
0
1
x
x
x
x
x
x
C
x
-
-
-
=

h1
又: ’(x1) = 1  C1 可解。
其中 hi(xj) = ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1

h1

h1
与 Lagrange 分析完全类似
§3 Hermite Interpolation
例1
§3 Hermite Interpolation
一般地,已知 x0 , …, xn 处有 y0 , …, yn 和 y0’, …, yn’,求 H2n+1(x) 满足 H2n+1(xi) = yi , H’2n+1(xi) = yi’。
解:设

+
=
n
i
)
(
)
(
)
(
=
0
i
i
x
h
x
h
yi
x
H2n+1


n
=
0
i
yi’
其中 hi(xj) = ij , hi’(xj) = 0, (xj) = 0, ’(xj) = ij

hi

hi
hi(x)
有根 x0 , …, xi , …, xn且都是2重根

)
(
)
(
)
(
2
x
l
B
x
A
x
h
i
i
i
i
+
=
由余下条件 hi(xi) = 1 和 hi’(xi) = 0 可解Ai 和 Bi 
(x)

hi
有根 x0 , …, xn, 除了xi 外都是2重根

hi
)
(
)
(
i
i
li2(x)
x
x
C
x
-
=

hi
又: ’(xi) = 1  Ci = 1

hi
)
(
x
)
(
i
li2(x)
x
x
-
=
设
则
这样的Hermite 插值唯一
§3 Hermite Interpolation
例2
§3 Hermite Interpolation
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 h2(x)的图像?

x
0
-
-
1

1
2
3
4
5
6
y
x
y
0
-
-
-
1

1
2
3
4
5
6
斜率=1

求Hermite多项式的基本步骤:
写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式;

对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根;

根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式;
根据尚未利用的条件解出表达式