文档介绍：§3 埃尔米特插值/* Hermite Interpolation */
不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。
即:要求插值函数满足,
注: N 个条件可以确定次多项式。
N  1
要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式
其余项为
一般只考虑与的值。
对于Hermite插值问题,主要讨论下面的特殊情形:
Qestion:已知函数在互异节点处的函数值

以及导数值,要构造不超过2n+1次的多项式
满足如下的2n+2个条件
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造
思想
类似于Lagrange插值多项式的构造方法,即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。
设满足前述2n+2个条件的插值多项式为
其中, 满足
的计算方法:
和
均为2n+1次多项式,且有n个二重根
和
令
其中
代入条件
解之得
从而得到插值基函数
下面求另一组插值基函数
令
全导数的Hermite插值多项式
其中
x0
x1
x2
x3
x4
x
H9(x)  f(x)
全导数的Hermite插值多项式的几何意义
如n=1时Hermite插值多项式为
二、全导数的Hermite插值多项式的存在唯一性和余项
满足前述插值条件的不超过2n+1次的插值多项式是唯一存在的。
证明:
存在性由前面的构造过程已证;
也是满足前述插值条件的不超过2n+1次的插值多项式
设
令
因此,多项式有n+1个二重零点
矛盾!