文档介绍：第六章稳定性模型
捕鱼业的持续收获
军备竞赛
种群的相互竞争
种群的相互依存
种群的弱肉强食
稳定性模型
对象仍是动态过程,而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。
不求解微分方程,而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
捕鱼业的持续收获
再生资源(渔业、林业等)与非再生资源(矿业等)
再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题及分析
在捕捞量稳定的条件下,如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。
如果使捕捞量等于自然增长量,渔场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定。
背景
产量模型
假设
无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
捕捞情况下渔场鱼量满足
不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
r~固有增长率, N~最大鱼量
h(x)=Ex, E~捕捞强度
x(t) ~ 渔场鱼量
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
一阶非线性(自治)方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
设x(t)是方程的解,若从x0 某邻域的任一初值出发,都有
称x0是方程(1)的稳定平衡点
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程
产量模型
平衡点
稳定性判断
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
E~捕捞强度
r~固有增长率
产量模型
在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使产量最大
图解法
P的横坐标 x0~平衡点
y=rx
h
P
x0
y
0
y=h(x)=Ex
x
N
y=f(x)
P的纵坐标 h~产量
产量最大
f 与h交点P
hm
x0*=N/2
P*
y=E*x
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型
假设
鱼销售价格p
单位捕捞强度费用c
单位时间利润
在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞强度使效益最大.
稳定平衡点
求E使R(E)最大
渔场鱼量
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
Es
S(E)
T(E)
0
r
E
捕捞过度
封闭式捕捞追求利润R(E)最大
开放式捕捞只求利润R(E) > 0
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER
临界强度下的渔场鱼量
捕捞过度
ER
E*
令=0
军备竞赛
描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程
解释(预测)双方军备竞赛的结局
假设
1)由于相互不信任,一方军备越大,另一方军备增加越快;
2)由于经济实力限制,一方军备越大,对自己军备增长的制约越大;
3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存在增加军备的潜力。
进一步假设
1)2)的作用为线性;3)的作用为常数
目的