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控制系统数字仿真
数字仿真是在数字机上建立系统模型并利用模型做实验,所以,进行数字仿真首先要建立描述被仿真系统的数学模型,并将此模型转换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型,然后编制程序,使模型在计算机上运行。本章主要讲述数字仿真的基本理论与方法。
连续系统数值积分方法
连续系统的数学模型,一般都能以微分方程的形式给出,所以,连续系统数学仿真算法问题通常可归结为如何用计算机来求解微分方程的问题。数值积分法是解决该问题的重要方法之一,例如已知
()
求
连续系统数值积分方法
解:对式()两边积分,则
当
时
令
则
()
数值积分法是解决在已知初值的情况下,对
进行近似积分,对
进行数值求解的方法,在数学上称为微分方程初值问题的数值方法。
连续系统数值积分方法
表示函数
在
和
相邻两次采样时刻之间的积分。
若将此定积分中的
近似看成常数,即
则
由式()得
即
()
连续系统数值积分方法
式中,
为计算步距。
,1,2,…
式为()著名的欧拉积分公式。欧拉公式计算简单,但精度较低,其原因是将
看成常数
,从而用矩形面积代替准确的曲面面积
,形成了较大的误差面积。为了提高计算精度产生了梯形法。
连续系统数值积分方法
二. 梯形法
梯形法是用梯形的面积近似代替定积分,即
式中, ; ,所
以即
()
连续系统数值积分方法
从式()可以看出,用梯形法进行数值积分,会出现一个问题:在计算
时,先要用
去计算式()右端的
,而此时还未求出,
显然,这是不可能实现的。所以,一般采用欧拉公式先预报一个
然后将预报的代入式()进行校正,求出,即
()
式中,
一般称式()为预报–校正公式。显然,梯形法比欧拉法精度要高,同时,每前进一个步距,计算工作量也比欧拉法约多一倍。
连续系统数值积分方法
三. 龙格-库塔法
对于微分方程式(),若在其初值附近展开成泰勒级数,并只取前三项,则有
()
设式()的解可以写成如下形式
()
连续系统数值积分方法
将用二元函数泰勒级数展开式展开,并只取前三项,则
将、代入式()
()
比较式()与式(),得