文档介绍：数学建模中的作战模型
在第一次世界大战期间,F·W兰彻斯特(Lanchester)投身于作战模型的研究,他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型,并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”:作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗,有些因素可以不考虑,如气候,后勤供应,士气的高低,而有些因素我们把双方看成是相同的,如武器配备,指挥艺术。还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。两军士兵都处于对方火力范围内,由于战斗紧迫,短暂,也不考虑支援部队。
一、正规战模型:
令表t时刻甲军人数,表t时刻乙军人数:
在以上假设下,显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比,
(1)
其中a > 0,b > 0均为常数,积分(1)得
(2)
这就是“兰彻斯特平方定律”,(2)式在X-Y平面上是一族双曲线。,双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
,乙军要想获胜,即要使不等式成立。可采用两种方式:(1) 增加a,即配备更先进的武器;(2) 增加最初投入战斗的人数。但是,值得注意的是:在上式中,a增大两倍,结果也增大两倍,但增大两倍则会使增大四倍。这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义,说明兵员增加战斗力将大大增加。
如果考虑两军作战时有增援,令和分别表示甲军和乙军t时刻的增援率,所谓增援率,就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。此时正规部队对正规部队的作战模型为
(3)
现在回答一开始时提出的问题,设甲军有m=100人,乙军有n=50人,两军装备性能相同,
y(t)
c>0:乙军胜
c<0:甲军胜
c=0:不分胜负 x(t)
即令,没有援军,将(2)变为
(4)
将y = 100,x = 50代入(4)式得
(5)
再将c/a=7500代入()式得
(6)
战斗结束一方人数为零,显然这里乙军x=0,代入(6)式得
即甲军战死13人,剩下87人,乙军50人全部被消灭。
二、混合战模型:
如果甲军是游击队,乙军是正规部队,由于游击队对当地地形熟,常常位于不易发现的有利地形。设游击队占据区域R,由于乙军看不清楚甲军,只好向区域R射击,但并不知道杀伤情况。我们认为如下的假设是合理的:游击队x的战斗减员率应当与x(t)成正比,因为x(t)越大,目标越大,被敌方子弹命中的可能性越大;另一方面游击队x(t)的战斗减员率还与y(t)成正比,因为y(t)越大,火力越强,x的伤亡人数也就越大。因此游击队x的战斗减员率等于cx(t)y(t),常数c称为敌方的战斗有效系数。如果f(t)和g(t)分别为游击队和正规部队增援率,则游击队和正规部队的作战模型为
(7)
若无增援f(t)和g(t),则(7)式为
(8)
积分(8)式得
M>0:乙胜
M=0:不分胜负
图
x(t)
M<0:甲胜
y(t)
(9)
(9)式在x-y平面上定义了一族抛物线,:如果M > 0,则正规部队胜,因为当y(t)减小到,部队x已经被消灭。同样,如M < 0,则游击队胜