文档介绍：学案5 数列的应用
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一、等差、等比数列的性质
{an},{bn}皆为等差数列,则{kan+b},{an+bn}分别是和数列.
{an}为等差数列,m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则ap+aq am+an;若2m=p+q,则2am ap+aq.
等差
等差
=
=
考点分析
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{an}为等差数列,公差为d,则am,am+n,am+2n,
am+3n,…为数列,公差为.
{an}为等差数列,Sn,S2n,S3n为其前n项,2n项,3n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.
{an}, {bn}为等比数列,则{ }, {an ,bn }, {kan }(k≠0)都为数列.
{an}为等比数列,m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则aman apaq,若2m=p+q,则 apaq.
{an}为等比数列(公比q≠-1),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为数列.
等差
nd
等差
等比
=
=
等比
二、数列综合应用题的解题步骤
——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.
——分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.
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{an}为等比数列,则am,am+t,am+2t,am+3t,…为数列.
等比
具体解题步骤如下框图:
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三、数列应用题常见模型
利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+xr).
按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x.
原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x.
a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则
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已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= .求{an}的通
项公式.
【分析】根据等比数列的定义及通项公式求解.
考点一等差、等比数列性质的应用
题型分析
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【解析】解法一:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
a2= ,a4=a3q=2q,
∴+2q= ,
解得q= 或3.
当q= 时,a1=18,
∴an=18×( )n-1= =2×33-n.
当q=3时,a1= ,
∴an= ×3n-1=2×3n-3.
解法二:由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4= ,
则a2,a4为方程x2- x+4=0的两根,
a2= a2=6
a4=6或 a4= .
①当a2= 时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.
②当a2=6时,q= ,a2=2×33-n.
an=2×3n-3或an=2×33-n.
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解得
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【评析】等比数列性质an=amqn-m,
am·an=ap·aq(p+q=m+n,m,n,p,q∈N*)是常用公式,注意
应用.