文档介绍：求极限值的几种常用方法
钱伟茂
(湖州广播电视大学浙江湖州 313000)
摘要: 极限的概念与极限的运算贯穿于高等数学的始终,是研究函数的主要工具之一,全面掌握求极限的方法是学好高等数学的基本要求。本文围绕求解极限值这个核心问题,探讨了利用初等数学思想的十种求解方法和利用高等数学思想的十一种求解方法。
关键词:数列;函数;极限值;求法
极限是高等数学的基本概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。高等数学中的诸如:连续、导数、微分、定积分、级数敛散性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等相关证明和运算都离不开求极限值。本文将把分散于高等数学各章节中的求极限值的常用方法较系统地进行归纳,分为以初等数学思想和高等数学思想两种求解方法进行探讨。
一、初等数学思想的求解方法

约分方法是指对分式求极限通常约去极限趋于零或无穷的因子以达到化简的目的。
例1 求
解:原式=
、分母同除于一个因子
分子、分母同除于一个因子,使每一项极限均存在,然后运用极限运算法则。
例2 求
解:原式=
、分母同乘一个非零因子
例3 若,求
解:原式=
=
4. 利用通分
例4 求
解:原式=

对于若干项相加的式子,先求和,再求极限。
例5 求下列极限
(1)
(2)设,求
解(1)原式
(2)因为
所以:
故

例6 求极限
解:
而
所以,
7. 利用分子、分母有理化
例7 求下列极限
(1) (2)
解:(1)
(2)原式=
=
8. 利用变量替换
例8 求
解:令,则当时,
原式=
=
9. 利用换底
换底法主要是解决幂指函数型极限的求解方法,一般是利用对数恒等式进行换底,再求极限。
例9 求
解:原式==
=
10. 利用对数构造
例10 设,,()
求
解:令, 由于
所以,)
故
当时
=
从而:
=
=
所以
二、高等数学思想的求解方法

例1 求极限
解:原式=
对于极限四则运算法则中加法和乘法法则可推广到有限次的情形。类似地,数列的极限,多元函数的极限都有保持四则运算的性质。

函数的连续性描述函数的一种连续不断变化的状态。确切地说来,函数在某点连续是指:当自变量趋于该点时,函数值的极限与函数在该点所取的值一致,可以证明,所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。因此,得到一种求连续函数极限的方法。
例2 (1996年考研试卷二,一(4))
解:填2。这是因为,令则()时
于是,
=
同理,
综上所述,

准则:单调有界数列必有极限
例3 设,,n=1,2,3,……,试求(1996年考研试卷一,三(2))
解:由和,知,设对某自然数k,有,则
由数学归纳法可知,数列是单调递减的。
由易知,,即数列有下界。故存在,并设。
在两边同时取极限,得A=,即,解得A=-2或A=3,由,得。

定理1: 如果数列,和满足下列条件:
(1) );
(2) ,
那么数列的极限存在,且
定理:如果
(1)当在的去心邻域时(或充分大以后),;
(2)
则(A为有限或无穷大)
例4,求下列极限
(1)([x]表示x的取整数)
(2)
解(1)
所以当时,;当时,
但,
所以,
(2)因为
所以
而

故

重要极限和,为了方便地使用,也常记作
例5 求极限
解:
例6 设,则。(1996年考研试卷一,一(1))
解:填。因为
故得。

求极限时巧妙运用等价无穷小量代换及性质,不仅可以求出极限,而且还可以简化运算,常见的用法有以下三种:
1、利用常用的等价无穷小量直接进行代换。常用的基本等价无穷子量有如下几个:当时
;;;;;
;
(b) ;;
例7 求极限
解:原式=
=
2、根据性质“无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量”求解。
例8 求极限
解:因为,故为有界函数,而
由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量可得:

3、利用互为反函数的简单结论。
若f(x)存在反函数,且时,
;则
(a)
(b)
例9 求极限
解:令,则当时,
原式=
利用等价无穷小求极限时,值得注意的是只能替换求极限的函数中的乘积因子,