文档介绍：材料力学
第四章弯曲内力
Internal Forces in Bending
Ⅰ.弯曲的概念
在工程中常遇到这样一类等直杆,它们所承受的外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系(有时还包括力偶)。在这些外力作用下,杆的轴线在变形后成为曲线,这种变形称为弯曲Bending。凡是以弯曲为主要变形的杆件,通常称为梁Beam。梁是一类常用的构件,几乎在各类工程中都占有重要地位。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
几何特点横截面有一对称轴,与梁轴线构成纵向对称平面。
受力特点横向外力作用在与杆件的纵向对称面(形心主惯性平面)重合或平行的平面内。
变形特点杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
工程中最常见的梁,例如图4-la、b、c中的 AB梁,其横截面都具有对称轴,同时,梁上所有的外力(或外力的合力)均作用在包含此种对称轴的同一纵向平面(通常称为纵对称面)内。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图Ⅰ.弯曲的概念
由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面,因此,梁变形后的轴线必定是一条在该纵对称面内的平面曲线(图4-2),即梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。这种弯曲称为平面弯曲Plane bending,或更确切地称为对称弯曲。若梁不具有纵对称面,或者,梁虽具有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内,这种弯曲则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单和最常见的情况,在下面几章中,将以对称弯曲为主,讨论梁的应力和变形计算。至于非对称弯曲问题,则将在第七章中介绍。本章则为弯曲问题的计算提供基础。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图
由于这里所研究的主要是等截面的直梁,而且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系。因此,在梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。梁计算简图中对支座简化的关键,在于分析支座对梁在荷载平面内的约束情况。
梁的支座,按其对梁的约束情况,可以简化为以下三种基本形式:
end、built-in 固定端支座使梁的端截面既不能移动,也不能转动。故它对梁的端截面有三个约束,对应有三个支反力,即水平支反力H,铅垂支反力R和矩为MR的支反力偶。
hinged support 固定铰支座限制梁在支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动,但并不限制梁绕铰中心转动。故其对梁在支座处的截面有两个约束,相应有两个支反力,即水平支反力H和铅垂支反力R。
hinged support 可动铰支座只限制梁在支座处的截面沿垂直于支承面方向移动。故它对梁在支座处的截面仅有一个约束,相应地也只有一个支反力,即垂直于支承面的支反力R。
梁的实际支座通常可简化为上述三种基本形式。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图
应当注意,梁实际支座的简化,主要是根据每个支座对梁的约束情况来确定的。但是,支座的简化往往与对计算的精度要求,或与所有支座对整个梁的约束情况有关。例如,图4-4a所示的插入砖墙内的过梁,由于插入端较短,因而梁端在墙内有微小转动的可能;此外,当梁有可能发生水平移动时,其一端与砖墙接触后,砖墙就限制了梁的水平移动。因此这两个支座中的一个应简化为固定铰支座,而另一个则简化为可动铰支座(图4-4b)。图4-1b中的车辆轴的支座也具有类似的情况。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图
从以上的分析可知,如果梁具有一个固定端,或在梁的两个截面处分别有一个固定铰支座和一个可动铰支座,则其三个支反力可由平面力系的三个平衡方程求出。这种梁称为静定梁statically determinate beam。图4-5a、b、c所示是工程上常用到的三种基本形式的静定梁,分别称为悬臂梁Cantilever beam 、简支梁Simple beam和外伸梁Simple beam with overhang。
有时为了工程上的需要,对一个梁设置较多的支座,因而梁的支反力数目多于平衡方程的数目,此时若只用平衡方程就无法确定其所有的支反力。这种梁称为超静定梁statically indeterminate beam。
梁在两支座间的部分称为跨span,其长度则称为梁的跨长(跨度span)。常见的静定梁大多是单跨的。
根据梁的计算简图就可以按平衡方程求得静定梁的支反力。作用在梁上的荷载一般是作用线垂直于梁轴线的平面平行力系,在此情况下,水平支反力H应等于零。于是,静定梁的支反力将仅有两个,可以通过平面平行力系的两个平衡方程来确定。
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图 Ⅱ.梁的计算简图
A
B
C
q
l/2
l/2
P
ql/2
l
3l/4
x
y
A
B