03-12研究生入学考试试题-线性代数部分.pdf

文档介绍：全国硕士研究生入学考试试题(线性代数部分)

2003 年

一、填空题:

⎛⎞11 ⎛⎞⎛⎞11 ⎛⎞
.(数学一)从 2 的基到基的过渡矩阵为
1 R αα12==⎜⎟, ⎜⎟ββ12==⎜⎟, ⎜⎟
⎝⎠01 ⎝−⎠⎝⎠12 ⎝⎠
⎛⎞23
⎜⎟.
⎝⎠−−12
⎛⎞111−
T T ⎜⎟T
2.(数学二)设α为 3 维列向量,= ⎜⎟−−11 1,则αα= 3 .
⎜⎟
⎝⎠111−
3 .(数学二)设三阶方阵 AB, 满足 AB2 − A−= B E,其中 E 为三阶单位矩阵,若
⎛⎞101
⎜⎟ 1
A = ⎜⎟020,则 B = .
⎜⎟ 2
⎝⎠−201

4.(数学三、四)设 n 维向量α=<(,0,,0,),aaa" T 0; E 为 n 阶单位矩阵,矩阵
1
AE=−ααααTT, BE =+
a
其中 A 的逆矩阵为 B,则 a =−1 .
⎛⎞202
⎜⎟
5.(数学四)设 AB, 均为三阶矩阵,E 是三阶单位矩阵,已知 AB=+2,040 A B B =⎜⎟,
⎜⎟
⎝⎠202
⎛⎞001
−1 ⎜⎟
则()010AB−=⎜⎟.
⎜⎟
⎝⎠100

二、选择题:

1.(数学一、二)设向量组 I:α12,,,αα" r 可由向量组 II: β12,,,ββ" s 线性表示,则
(A) 当 rs< 时,向量组 II 必线性相关.
(B) 当 rs> 时,向量组 II 必线性相关.
(C) 当 rs< 时,向量组 I 必线性相关.
(D) 当 rs> 时,向量组 I 必线性相关. [D]
2.(数学一)设有齐次线性方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 ,其中 A, B 均为 mn× 矩阵,现有 4 个命
题:
①若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解,则秩(A) ≥秩(B);
②若秩(A) ≥秩(B) ,则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解;
③若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解,则秩(A)=秩(B);
④若秩(A)=秩(B),则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解.
以上命题中正确的是
(A)①②. (B)①③
(C)②④. (D)③④[B]
⎛⎞abb
⎜⎟
3.(数学三)设三阶矩阵 Abab= ⎜⎟,若 A 的伴随矩阵的秩等于 1,则必有
⎜⎟
⎝⎠bba
(A) ab= 或 ab+ 20= . (B) ab= 或 ab+ 20≠.
(C) ab≠且 ab+ 20= . (D) ab≠且 ab+ 20≠. [C]
4.(数学三)设α12,,,αα" s 均为 n 维向量,下列结论不正确的是
(A)若对于任意一组不全为零的数 kk12,,," ks ,都有 kk11α+ 2αα 2++" kss ≠0 ,则
α12,,,αα" s 线性无关.
(B) 若α12,,,αα" s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数 kk12,,," ks ,有
kk11α+++= 2αα 2 " kss 0
(C)α12,,,αα" s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.
(D)α12,,,αα" s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [B]
5.(数学四)设矩阵
⎛⎞001
⎜⎟
B = ⎜⎟010
⎜⎟
⎝⎠100
已知 A 相似于 B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于
(A)2. (B)3. (C)4. (D)5. [C]


三、解答题:
⎛⎞⎛⎞322 010
⎜⎟⎜⎟−1*
1.(数学一)设矩阵 APBPAP===⎜⎟⎜⎟232, 101, ,求 B + 2E 的特征值和
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠223 001
特征向量,其中 A* 为 A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵.
2.(数学一、二)已知平面上三条不同直线的方程分别为
laxbyc1 :230,+ +=
lbxcya2 :230,+ +=
lcxayb3 :230+ +=
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc+ +=0.
⎛⎞220
⎜⎟
3.(数学二)若矩阵 Aa= ⎜⎟82 相似于对角矩阵Λ,试确定常数 a 的值;并求可逆矩阵
⎜⎟
⎝⎠006
P使PAP−1 =Λ.
4.(数学三)已知齐次线性方程组
⎧()abxaxax112233+