文档介绍：学院系专业班级姓名学号
(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计)
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考试方式: 闭卷
太原理工大学矩阵分析试卷(A)
适用专业:2010级硕士研究生考试日期: 2011. 时间: 120 分钟共 8 页
题号
一
二
11
12
13
14
15
16
17
总分
得分
(每小题3分,共15分)
( C )
(A); (B); (C); (D).
解答,,。
,则的最小多项式为( B )
(A); (B);
(C); (D).
解答
,的最小多项式只可能是
,,。
而不是,并且,所以选B。
或者
,
的初等因子为;的初等因子为;的初等因子为;
所以的初等因子为;;。
所以的第四个不变因子为。
或者
块对角矩阵的最小多项式等于所有块的最小多项式的最小公倍式
或者设的互不相同的特征值为,所对应的若当块的最大阶数为,则
,则( A )
(A)0; (B); (C); (D).
解答
因为,所以。
。
,则( D )
(A)是正定矩阵; (B)的特征值均为实数;
(C)是正交矩阵; (D)可对角化.
( C )
(A)矩阵存在左逆矩阵的充分必要条件是列满秩;
(B)任意矩阵的加号逆总是唯一的;
(C)对任意矩阵,恒有;(考虑所以)
(D)有解时,通解可表示为:,其中是与同维数的任意列向量.
(每小题3分,共15分)
,则从基到基的过渡矩阵为.
解答
因为,而可逆,所以也是基,
所以从基到基的过渡矩阵为。
,则的不变因子为.
解答
,
,所以
,
,而,则.
解答
,设的特征值为,那么
,所以或者,如果,则可逆,于是
,矛盾!所以是的特征值,所以,所以。
9. 设矩阵,则=
解答
,所以。
10. 设矩阵,则的实特征值的个数为 4 .
(每小题10分,共70分)
,求,,,,。
解答
;
;
;
;
。
,,
(1)证明是的一个线性子空间;
(2)当时,对的不同取值,求的一个基与维数.
解答
(1)
因为,所以;
假设,那么,于是
,所以;
假设,那么,
所以,所以。
所以是的一个线性子空间。
(2)
当并且时,则。没有基,。
当时,方程组的解为,所以一个基为,。
当时,方程组的解为,所以一个基为、,。
,在上定义变换为:。
(1)验证是上的线性变换;
(2)求在基下的矩阵。