文档介绍：枣庄三中2008-2009学年度下学期高二年级
数学学科选修2-2教学案编号 10
§ 生活中的优化问题举例(2课时)
组编人王素芹审核人白永庆使用时间姓名班级学号
一、【学习目标】、用料最省、效率最高等优化问题,.
二、【学习重点】利用导数解决生活中的一些优化问题.
【学习难点】利用导数解决生活中的一些优化问题.
三、【教学过程】
(一).创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,,我们知道,导数是求函数最大(小),我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.
(二).新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。
解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
优化问题
建立数学模型
利用导数解决优化问题的基本思路:
(三).典例分析

学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

求导数,得: .
令,解得舍去).
于是宽为.
当时,<0;当时,>0.
因此,是函数的极小值,,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小.
答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。

(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】:,其中是瓶子的半径, mL的饮料,制造商可获利分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm ,问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是

令解得(舍去)
当时,;当时,.
当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高;
当半径时, 它表示单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?
由图像知:当时,,即瓶