第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有).pptx

文档介绍：第4章曲线坐标张量分析
2018年6月17日
主要内容
基矢量的导数,Christoffel符号
张量场函数对矢径的导数、梯度
张量分量对坐标的协变导数
张量场函数的散度和旋度
积分定理
Riemann-Christoffel张量(曲率张量)
张量方程的曲线坐标分量表示方法
非完整系与物理分量
正交曲线坐标系中的物理分量
基矢量的导数,Christoffel符号
张量场函数:T(r)
T(r)之所以被称为场函数,是因为它是矢径r的函数。
在曲线坐标系下,基矢量gi并不是常矢量,如何描述gi随坐标的变化而变化?
基矢量本身重要!
是坐标的非线性函数
基矢量的导数,Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号
协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号
从定义式,可探讨性质:
由于
定义式
可证明, 共有18个独立的分量,且不是张量分量。
基矢量的导数,Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号
第一类Christoffel符号
性质:
定义式:
比较:
Christoffel符号仅有定义式是不够的,必须有计算式!
基矢量的导数,Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式:用gij来计算
基矢量的导数,Christoffel符号
基矢量的导数与Christoffel符号
逆变基矢量的导数
对坐标的导数, 的计算公式
张量场函数对矢径的导数、梯度
标量场函数f (r)的梯度
其中, 定义为f (r)的梯度; 即。
因此,
梯度的几何意义!
取弧元ds,有方向导数:
张量场函数对矢径的导数、梯度
张(矢)量场函数T(r)的梯度,借助有限微分,得
从而可得右梯度和左梯度:
由此可得:
张量分量对坐标的协变导数
为了计算,则必须引入协变导数
★矢量场函数的梯度
矢量分量的协变导数