文档介绍：第2章二阶张量2020年1月31日主要内容二阶张量的矩阵正则与退化的二阶张量二阶张量的不变量二阶张量的标准型几种特殊的二阶张量二阶张量的分解正交相似二阶张量二阶张量的矩阵二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式其中,矩阵是最重要的张量矩阵。WHY?二阶张量的转置张量二阶张量的矩阵二阶张量的转置张量所对应的矩阵对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵二阶张量的矩阵二阶张量的行列式通常定义的行列式为张量T的行列式由于两个互为转置的矩阵的行列式相等,所以二阶张量的矩阵张量的加法和乘法运算与矩阵运算一一对应。求迹运算,即缩并,对应于求矩阵的对角线元素之和。二阶张量与矢量的点积,即线性变换。例如:该运算具有线性性质:两个二阶张量的点积只有取,矩阵时,才与矩阵乘法相对应。二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算例如,并乘运算。二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算正则与退化的二阶张量行列式值不为零的二阶张量T称为正则的,否则称为退化的。二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。任意二阶张量将零矢量映射为零矢量:任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集:正则与退化的二阶张量3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u,v,w映射为另一矢量组,满足:正则二阶张量的特性:正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的,正则的二阶张量T存在唯一的逆T-1。二阶张量T是正则的充要条件是,当且仅当。单射性。若,则满射性。若,则存在唯一的逆变换二阶张量的不变量(代数)力学是用张量的不变量写成的!Gorldan猜想:代数结构中有无穷多不变量,但基本不变量只有有限个。埃米·诺特EmmyNoether (1882-1935)伟大的抽象代数之母诺特,石破天惊的思想:任何对称性,都对应某种形式的守恒律!!二阶张量的不变量(代数)二阶张量T的标量不变量:对应静水应力)(力学中,