第5讲 QR分解.pdf

文档介绍：数值模拟导论-第五讲
QR分解
雅克布怀特
感谢Deepak Ramaswamy, Michal
Rewienski,Karen Veroy and Karen Veroy
奇异矩阵例子
QR分解 LU分解的不足之处
拉杆
节点
负载力
虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵,但是仍旧存在一种解法!
SMA-HPC ©2003 MIT
奇异矩阵例子
QR分解 LU分解的不足之处
虽然上面图形的节点矩阵是一个奇异矩阵,但是存在一种解法!
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奇异矩阵例子
QR分解
回顾矩阵各列的加权和,并观察下面的等式。
G GG
xM11+ xM 2 2++... xNN M = b
虽然矩阵M是奇异矩阵但是向量B在矩阵M的列向量组成的向量空间内。
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正交化
QR分解如果M有正交列向量
如果两向量正交则:
G G
M ij• Mij=≠0
用第i列乘以加权列向量得:
G GG GG
M iNNi•(xM11+++=• xM 2 2 ... x M ) M b
利用正交向量将方程简化为:
G
G GG
M i •b
xMii()•=•⇒= M i M i b x i G G
()M ii• M
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正交化
QR分解矩阵M正交的几何意义
GG G G
如果M ij• Mij=≠0 且 MMjj•=1 则矩阵M正交
二维向量的几何意义
非正交
正交
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正交化
QR分解 QR法的基本思想
原始矩阵带有正交列向量的矩阵
Qy=⇒= b y QT b
怎么来完成这一步变换?
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正交化
QR分解推导公式
GG G G
给出,求
M12, M QMrM22121=−满足
GGGGG
MQ12•=• M 1( M 2121 − rM) =0
G G
M12• M
即必有 r12 = G G
M11• M
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正交化
QR分解标准化
如果我们将向量标准化,公式将会变得简单,因此我们先来将向量Q1标准化:
GGG11G G
QMMQQ==⇒•=GG 1
11111r
MM11• 11
GG G GG
现在要求以便满足
QMrQ22121=− QQ21•= 0
G G
得:
rQM12=• 1 2
GGG11
最后求得: QQQ222==GG
 r22
QQ22•
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正交化
QR分解 2*2矩阵的变化过程
既然Mx等于Qy,那么我们可以找到x与y之间得关系。
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