文档介绍：第十二讲满秩分解与奇异值分解
一、矩阵的满秩分解
1. 定义:设,若存在矩阵及,使得
,则称其为的一个满秩分解。
说明:(1)为列满秩矩阵,即列数等于秩;为行满秩矩阵,即行数等于秩。
(2)满秩分解不唯一。(阶可逆方阵),则
,且
2. 存在性定理:任何非零矩阵均存在满秩分解
证:采用构造性证明方法。设,则存在初等变换矩阵,
使, 其中
将写成,并把分块成,其中
是满秩分解。
3. Hermite标准形(行阶梯标准形)
设,且满足
的前行中每一行至少含一个非零元素(称为非零行),且第一个非零元素为1,而后行的元素全为零(称为零行);
若中第行的第一个非零元素(即1)在第列,则
;
矩阵的第列,第列,…,第列合起来恰为阶单位方阵的前列(即列上除了前述的1外全为0)则称为Hermite标准形。
例1 为Hermite标准形
也是Hermite标准形
4. 满秩分解的一种求法
设,
采用行初等变换将化成Hermite标准形,其矩阵形式为,其中为Hermite标准形定义中给出的形状;
选取置换矩阵
的第列为,即该列向量除第个元素为1外,其余元素全为零;
其它列只需确保为置换矩阵即可(的每一行,每一列均只有一个非零元素,且为1);
用右乘任何矩阵(可乘性得到满足时),即可得该矩阵的第列置换到新矩阵(即乘积矩阵)的第列
令,即
(3)令的前行,则
证明:,则,,已知,但,当然可以通过求出再将分块得到,但这样就没必要采用Hermite标准形形式,注意到,则证毕
例1 求其满秩分解
解:(1)首先求出的秩。显然,前两列互相独立,而第三行可由第一行减去第二行得到,故
。
(2)进行初等变换将化为Hermite标准型。

, 即
, ,
(3)求出及
由可见,故,
验证:
而
二、酉对角分解与奇异值分解
1. 厄米矩阵的谱分解
为厄米矩阵,则存在酉矩阵,使
将写成列向量形式,即,则
2. 非奇异矩阵的酉对