文档介绍：理论力学(哈工第七版) 课后练习答案第三部分
9-2 图示 A、B 两物体的质量分别为 m1 与 m2 ,二者间用一绳子连接,此绳跨过一滑轮, 滑轮半径为 r。如在开始时,两物体的高度差为 h,而且 m1 > m2 ,不计滑轮质量。求由静止释放后,两物体达到相同的高度时所需的时间。解:分别取重物 m1 ,m2 为研究对象,受力和运动分析如图b,分别列出两物体在铅垂方向的运动微分方程
r
O
m1a1 = m1 g − F1 m2 a2 = F2 − m2 g a1 = a2 = a
不计滑轮质量,故由式(1)、(2),解得
(1) (2)
A
h
F1 = F2 (a) a= m1 − m2 g m1 + m2
a1 F1 A m1g B F2
B
a 为常量, 二物体以相等的加速度反向作匀加速运动, 且由静止释放,
即
v0 = 0 s1 = s2 = s = 1 2 at 2 h 的路程。 2
a2 m2g
当二物体达到相同高度时,每物体均经过 s1 = s2 =
(b)
t=
2s = a
h(m1 + m2 ) g (m1 − m2 )
10-3 图示水平面上放一均质三棱柱 A, 在其斜面上又放一均质三棱柱 B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱 A 的质量 mA 为三棱柱 B 质量 mB 的三倍,其尺寸如图示
。设各处摩擦不计,初始时系统静止。求当三棱柱 B 沿三棱柱 A 滑下接触到水平面时,三棱柱 A 移动的距离。解:取 A、B 两三棱柱组成一质点系为研究对象,把坐标轴 Ox 固连于水平面上,O 在棱柱 A 左下角的初始位置。由于在水平方向无外力作用,且开始时系统处于静止,故系统质心位置在水平方向守恒。设 A、B 两棱柱质心初始位置(如图b 所示)在 x 方向坐标分别为
A a (a) B b
θ
a 3 2 x2 = − d = − b 3 x1 = −c = −
当棱柱 B 接触水平面时,如图c 所示。两棱柱质心坐标分别为
b d A B mBg
x
c O
mAg a (b)
1
x1' = l − c = l −
'
a 3
l c O mAg a (c) A d
b B mBg
b x 2 = l −(a −) 3
系统初始时质心坐标
x
a 2 mA (−) + mB (− b) 3 3 = − mA a + 2mB b xc = mA + mB 3(mA + mB )
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b mA (l −) + mB [l −(a −)] ' 3 3 = 3(mA + mB )l − a (mA + 3mB ) + mB b xc = 3(mA + mB ) mA + mB
因并注意到得
xc = xc' mA = 3mB l= a −b 4
10-11 均质杆 AG 与 BG 由相同材料制成,在 G 点铰接,二杆位于同一铅垂面内,如图所示。AG=250 mm,BG=400 mm。若 GG1=240 mm 时,系统由静止释放,求当 A,B,G 在同一直线上时,A 与 B 两端点各自移动的距离。解:本题水平方向质心守恒,位置不变。设杆件的线密度ρ,建立坐标系,设 A 点位移为 SA,B 点位移为 SB。
G
xc1 =
35 × 250 ρ+ (160 + 70) × 400 ρ 250 ρ+ 400 ρ= 155 mm
A
y
G1
(a)
B
当 A,B,G 在同一直线上时,有
250 + 400 S A + 155 = 2
即质心在 AB 中点,于是
G C A
70 SA
S B + S A + 390 = 650
得
G1
320 155
B C
SB
S A = 170 mm S B = 90 mm
(b)
2
10-12 图示滑轮中,两重物 A 和 B 的重量分别为 P1 和 P2。如物体 A 以加速度 a 下降, 不计滑轮质量,求支座 O 的约束力。解:对整体进行分析,两重物的加速度和支座 O 的约束力如图b 所示。由动量定理知:
O
P2 P aB − 1 a A = FN − P − P2 1 g g
其中, a A = a , aB = 解得
A
a 2 1 (2 P − P2 )a 1 2g
B
(a)
FN = P + P2 − 1
v FN
O
v P 1
A
v aA
v aB B
v P2
(b)
11-1 质量为 m 的点在平面 Oxy 内运动,其运动方程为
x = a cos ωt , y = b sin 2ωt
其中 a,b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。解:由