文档介绍：利用柯西不等式巧证竞赛题
广东珠海市第四中学(519015)陈湘平
柯西不等式是数学上非常著名,,对于准确快捷地解决一些竞赛题,可以起到以简驭繁,事半功倍的效果.
柯西不等式:设ai,bi∈R(i=1,2,……,n),则
≥() 2
当且仅当== …=时等号成立.
证明:作关于x的二次函数f(x)=( )x2+2()x+,
若=0,则a1=a2= …=an=0,原不等式显然成立;若≠0,则f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2) 2+…+(anx-bn) 2≥0且>0
∴(2)2-4≤0
∵≥()2,
当且仅当== …=时等号成立.
柯西不等式结构严谨,形式易记,应用方便,下举例说明,以供参考.
一、利用柯西不等式巧证分式不等式.
(1978年广东数学竞赛题)设a、b、c∈R+且a+b+c=1,证明: ≥9.
证明:∵a、b、c∈R+
∴不妨构造两组实数;;
依柯西不等式有()(a+b+c)≥(1+1+1)2,
∵a+b+c=1,
∴≥9.
(第二届友谊杯竞赛题)设a、b、c∈R+,求证:≥.
证明:∵a、b、c∈R+
∴不妨构造两组实数;;
依柯西不等式有()(b+c+a+c+a+b)≥(a+b+c)2,
即≥.
注:例1和例2都是巧妙地构造两组实数后,直接利用柯西不等式就可以得到所要的结果.
(1978第20届IMO题)设a1,a2,…,an是互不相同的正整数,则对于一切的自然数n,都有≥.
证明:∵a1,a2,…,an是互不相同的正整数,
∴不妨构造两组实数;;
依柯西不等式有()()≥()2
∵a1,a2,…,an是互不相同的正整数,
∴()()≥()()≥()2
∴≥.
例4 (第十九届莫斯科数学竞赛题)设x,y∈R且满足,求证:
≥.
证明:∵x,y∈R且满足,
∴1-x2≥0,1-y2≥0
∴不妨构造两组实数;,;
由柯西不等式有()(1- x2 + 1- y2)≥(1+1) 2
即()[2-(x2+y2)] ≥22
∵x2 + y2≥2xy,
∴()(2-2xy) ≥(()[2-(x2+y2)] ≥22
∴≥.
注:例3和例4除了利用柯西不等式外,还应用了不等式证明的其它一些技巧,如放缩法等.
二、利用柯西不等式巧求最值问题.
例5 (1999年日本IMO队选拔赛题)已知x、y、z∈R+且x+y+z=1,求的最小值.
解:∵x、y、z∈R+,
∴不妨构造两组实数;;
依柯西不等式有()(x+y+z)≥(1+2+3)2
∵x+y+z=1,
∴≥36,当且仅当x:y:z=1:2:3时等号成立.
∴当x=,y=,z=时,有最小值36.
例6 (第七届美国竞赛题)已知a、b、c、d、e为实数,满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.
解:由题意易知a+b+c+d=8-e, a