文档介绍：平稳时间序列模型

本章将介绍Box-Jenkins方法,主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。
平稳性
考虑时间序列,对任何整数,可得到一个随机向量。要想确定所有随机向量的分布是不可能的(虽然理论上存在),但可以确定

和协方差

一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。如果这个过程是正态过程,则是维正态分布,可以完全刻画这个随机过程的分布性质。如果没有正态性质,但生成过程是线性的,则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。
下面的问题是如何来估计,对于一些过程我们可以得到大量的实现(反复做观测)那么,的估计是

但对大多数过程来说,得不到更多的实现。如,不可能把经济停下来,然后重新开始观测。对一个实现,不可能估计出。
为了克服这个困难,时间序列分析要做如下的假设:均值和方差不随时间而改变。
如果对任何t, t-s, 都有

这里都是常量,与时间无关,是依赖于的常量。这样的随机过程称为协方差平稳。可以简单地说,如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响,则称这个时间序列是协方差平稳。在一些文献中,协方差平稳的过程也称为弱平稳,二阶矩平稳或宽平稳过程。(注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差)。
一个更进一步的假设是这个随机过程是遍历的(ergodic)。这是一个较难理解的一个概念。遍历性是指:如果一个过程对于时间间隔充分远的值之间几乎是无关的,使得这个序列通过时间来平均,总有新的有用的信息增加到平均值中。因此,按时间平均

是总体均值的无偏、一致估计。即。同理,的估计也是一致的。
因此,如果有平稳性和遍历性的假设,利用关于时间的平均,就可以得到较好的估计。遍历性的一个必要条件(但不充分)是
。
对于一个协方差平稳的序列,和之间的自相关系数可定义为

因此, 之间的自相关系数与之间的自相关系数相同,显然。序列描述了这个过程的一个值与先前的值的相关程度,所以自相关系数可用来测量过程本身的记忆性的长度和强度,即在时刻t的值与时刻t-s 的值的相关程度。的图形被称为相关图。用来刻画这个过程生成机制的线性性质。
白噪声
一个基本的时间序列:白噪声。一个序列被称为白噪声序列如果序列中每个元素都有零均值,常数方差,序列是不相关的,即
对任何t
对任何t
对任何t, s (st)
自回归模型
如果一个时间序列可表示成
是零均值白噪声
则称为一阶自回归过程。记为~。由Yule (1927) 引入,起源于实践。如,每月的失业人数可认为是上月失业人数的一个固定比例,加上寻求职业的工人数。如果这些人数形成一个白噪声序列,那么,失业序列就是
一阶自回归。
一些经济时间序列可认为是由下列机制生成:
处值=处值的期望+误差项
误差项通常取为白噪声序列。如果将处值的期望取为期值的固定比例,这时就是一阶自回归。如果将处值的期望取为过去值的加权平均
称为阶自回归过程。记为~。
如果过程是平稳的,的根必须在单位园外。这里。
用滞后算子表示为,它的一般解为。如果平稳性条件成立,则。这里,。特别地,如果~那么,,所以,
()
如果,则,由此可看出,如果,的解具有发散性质。
运动平均模型
设是零均值白噪声序列,则序列
比原来的白噪声序列更光滑些。更一般的运动平均的模型是

对每个t, 是由和分别相乘求和而得到。按这样方式构成的序列被称为阶为q的运动平均,记为~MA(q)。
对一阶运动平均,如果,则它比白噪声更光滑, 随着增加,光滑性增加。
虽然是白噪声序列,如果中有2个或2个以上不为零,则将不是白噪声序列。
运动平均过程由Yule (1926)引出,Wold (1938)进行了详细地研究。如果一个经济变量处在均衡中, 如果受到来自经济系统内部(或外部)不可预期事件的冲击而偏离原来状态。如果本系统并不能立刻吸收这些冲击效应,那么,将出现一个运动平均模型。
如,一个小型商品市场得到了一系列关于农产品状况的信息, 一条特别新闻对价格有即时影响,也有不同程度的滞后影响,令表示价格在t 处的变化,假设这种冲击影响价格变化,直到q 天以后这种冲击影响消失。这时,较适当的模型是MA(q)
如果),即天前的影响是,则, 由(),可表示成

这时,过程等价于过程。
,平稳的过程可以写成,那么,过程是否可以写成? 对于过程, 如果平稳性条件成立,即的根在单位园外(称为可逆性),则过程可以写成过程。
ARMA 模型
将自回归模型和运动平均模型结合起来,
()
总可以将标准化成1,如果自回归部分和运动平