文档介绍：第八章-矩阵[自测题解答]
§1 -矩阵
填空
1 、;
2、, 2 ;
3、.
解答题
1., 所以矩阵的秩为2.
,所以矩阵的秩为3.
,所以不可逆.
,所以矩阵可逆.
答:设为级-矩阵,可逆时一定满秩,因为这是的行列式为非零常数,为非零多项式;满秩时不一定可逆,因为满秩只说明行列式不是零多项式,但不一定是零次多项式(非零常数)
.
证明因为是一个次多项式,.
§2 -矩阵在初等变换下的标准形
问答题
数字矩阵的初等变换是-矩阵的初等变换,但-矩阵的初等变换不一定是数字矩阵的初等变换.
初等-矩阵都是可逆的.
可逆的-矩阵标准型都是单位矩阵,因此等价,反之如果两个-矩阵等价,且其中一个可逆,那么另一个一定可逆.
一致.
解答题
,而,,.
2.
§3 不变因子解答
填空
都是1,都是1;,,;3. 1,,;4.;
解答题
解的行列式因子为,故不变因子为
,所以标准形为;
的行列式因子,而有一个三级子式等于1, 故行列式因子,所以不变因子为,所以标准形是
的行列式因子为,故不变因子为,所以标准形为.
证明:因为是次的,,且的第个行列式因子证明的不变因子是一次的,但,并且,从而相等.
,而其中一个级子式为,故行列式因子为,从而不变因子为.
§4 矩阵相似的条件
填空
;;.
二判断题 1.(F);2.(T).
解答题
证明容易知道的不变因子为,故相似.
解容易计算的不变因子为;的不变因子为;
的不变因子为的不变因子为.
:因为多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变,所以在数域上的行列式因子相同,.
§5初等因子
填空题
1.;2..
二、解答题
.
的不变因子为,初等因子为.
容易计算的特征多项式为,故行列式因子,由于存在的互素的二级子式,故二级行列式因子,从而的不变因子为,初等因子为.
解因为,所以该矩阵的初等因子为.
证明:因为的初等因子等于,而等于全部不变因子之积,而全部不变因子之积等于全部初等因子之积.
证明:设,
为数域上的不可约因式.
首先考虑,若在-矩阵矩阵中相邻的中因式的次数,由北大教材的引理知道
反复利用上述方法则-矩阵可化为等价的-矩阵
其中,且是的一个排列.
然后用上述方法考虑,则-矩阵可化为等价的-矩阵
,他们是全部的初等因子.
§5若当标准形的理论推导
一、填空、; 2.; 3.;
4. ;
5.
6.
二、解答题
、二、三