文档介绍：第二章杆件系统的有限元法
第一节引言
杆是最重要的基本结构构件,在材料力学里集中研究了单根杆的力学行为,但实际工程中很少有单根杆的结构,像钢塔、起重机臂、桥梁、化工生产及城市生活中的管道、机器中的轴系、支架、结构物平台等都需要将单根杆组装起来成为杆系。
任何物体都是三维尺度的。杆的几何特征是横截面的尺度远小于杆的长度。材料力学中研究了等截面直杆的三种基本变形模型:(1)轴向拉(压)杆;(2)自由扭转轴;(3)平面弯曲梁。三种模型都是将实体杆简化成数学意义上的“轴线”,杆的轴线由所有横截面的形心的连线构成。
简单拉(压)杆的受力特点为作用在直杆上的外力(体力、面力)合力的作用线一定与杆的轴线重合,如图所示:
以弹簧为例:
弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡克定律,并且它们之间是线性关系,直线的斜率就是弹簧的刚度 k :
弹簧力-位移间关系
如图所示,当 k 与力 F 已知时,可由下式求出弹簧的伸
长量:
受力弹簧的变形
当处理比较复杂的铰支杆系统时,要确定系统在力P的作用下,节点B、C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力
:称为对应于施加系统上各节点力的
刚度矩阵。
问题:
1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的?
2、如何求出?
3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵?
k
u1,F1
u2,F2
弹簧的作用力向量为
位移向量为
一、单个弹簧的刚度矩阵
弹簧系统的刚度矩阵
物理意义
由力的平衡有
1)只有节点1可以变形,点2固定
2)只有节点2可以变形,点1固定
k
u1
F1a
F2a
A A‘
(a)
u2=0
k
u1=0
F1b
F2b
u2
B B‘
(b)
k
u1
F1
u2
F2
A A‘
B B‘
(c)
作用于节点1上的合力
作用于节点2上的合力
刚度矩阵
对称、奇异矩阵
二、组合弹簧的刚度矩阵
ka
kb
u1,F1
u2,F2
u3,F3
1
2
3
3
u1,F1a
ka
F2a
F3a
kb
u2=0
u3=0
F1b
ka
kb
u2,F2b
F3b
u1=0
u3=0
F1c
ka
kb
F2c
u3,F3c
u1=0
u2=0
(a)
(b)
(c)
1) 只允许节点1有位移u1,力F1a与位移u1之间的关系
由于u3= u2=0,没有力作用于节点3,因此:
考虑弹簧1-2,由静力平衡条件有
2) 只允许节点2有位移u2,弹簧1-2的伸长量与弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2,对弹簧2-3有压力kbu2
分别对两弹簧求静力平衡,有:
3) 只允许节点3有位移u3,类似于情况1),有:
由于节点1、2无位移,有