文档介绍：第一部分椭圆相关知识点讲解
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:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
(1)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中
(2)当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;
注意:,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
,都有和;
.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
圆的参数方程:(其中为参数).
方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
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(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
椭圆:的简单几何性质
(1)对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,,
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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(1)相交:直线与椭圆相交;
(2)相切:直线与椭圆相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=。
:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
第三部分典型例题分析
类型一:求椭圆的方程
1 、已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值.
解:,所以,解得.
又,所以,.
2、已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,,运用待定系数法,
求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,代入得,,故椭圆的方程为.
当焦点在轴上时,设其方程为.
由椭圆过点,,联立解得,,故椭圆的方程为.
3、的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.
分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解.
(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.
解: (1)以所在的直线为轴,,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,,,有,
故其方程为.
(2)设,,则. ①
由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点).
4 、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为、,且,..
从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,,
可求出,,从而.
∴所求椭圆方程为或.
类型二:过中点弦直线方程
1 已知椭圆,(1)求过点且被平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点、,为原点,且有直线、斜率满足,
求线段中点的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为,,线段的中点,则
①-②得.
由题意知,则上式两端同除以,有,
将③④代入得.⑤
(1)将,代入⑤,得,故所求直线方程为: . ⑥
将⑥代入椭圆方程得,符合题意,为所求.
(2)将代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部分)
(3)将代入⑤得所求轨迹方程为: .(椭圆内部