文档介绍：第7章非线性方程求根
方程求根与二分法
迭代法及其收敛性
迭代收敛的加速方法
牛顿法
弦截法与抛物线法
解非线性方程组的牛顿迭代法
方程求根与二分法
例如代数方程 x5-x3+24x+1=0,
超越方程 sin(5x2)+e-x=0.
对于不高于4次的代数方程已有求根公式,而高于4次的代数方程则无精确的求根公式,至于超越方程就更无法求出其精确的解,因此,如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为迫切需要解决的问题,为此,本章介绍几种常见的非线性方程的近似求根方法.
引言
本章主要讨论单变量非线性方程
f(x)=0 ()
的求根问题,这里x∈R, f(x)∈C[a, b]. 在科学与工程计算中有大量方程求根问题,其中一类特殊的问题是多项式方程
其中系数ai(i=0,1,,n)为实数.
方程f(x)=0的根x*,又称为函数f(x)的零点,它使得f(x*)=0,若f(x)可分解为
f(x)=(x-x*)mg(x),
其中m为正整数,且g(x*)≠0. 当m=1时,则称x*为单根,若m>1称x*为()的m重根,或x*为函数f(x)的m重零点. 若x*是f(x)的m重零点,且g(x)充分光滑,则
当f(x)为代数多项式()时,根据代数基本定理可知,n次代数方程f(x)=0在复数域有且只有n个根(含复根,m重根为m个根).
n=1,2时方程的根是大家熟悉的,n=3,4时虽有求根公式但比较复杂,可在数学手册中查到,但已不适合数值计算,而n≥,通常对n≥3的多项式方程求根与一般连续函数方程()一样都可采用迭代法求根.
迭代法要求给出根x*的一个近似,若f(x)∈C[a, b]且f(a)f(b)<0,根据连续函数性质中的介值定理可知方程f(x)=0在(a, b)内至少有一个实根,这时称[a, b]为方程()的有根区间,通常可通过逐次搜索法求得方程()的有根区间.
若 f(x)在[a,b]内连续, 且 f(a) · f(b)<0, 则 f(x)=0 在[a,b]内必有根; 若f(x)在[a,b]内还严格单调, 则f(x)=0在[a,b]内只有一根, 据此可得求隔根区间的两种方法.
1. (描)做图法
画出 y=f(x) 的草图, 由f(x)与横轴交点的大概位置来确定隔根区间; 或者利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系确定根的大概位置.
求隔根区间的一般方法
若f(x)比较复杂, 还可将方程f(x)=0化为一个等价方程(x)=(x), 则曲线y=(x)与y=(x)之交点A(x*,y*)的横坐标 x*即为原方程之根, 据此也可通过作图求得x*的隔根区间.
例1 判别下列方程有几个实根,并求隔根区间.
(1) f(x)=x3-x-1=0, (2) f(x)=x4-4x3+1=0.
解(1)将方程变形为
x3=x+1
绘曲线图 y=x3 及 y=x+1
由图可知, 方程只有一个实根x*(1, ),所以(1, ) 即为其隔根区间.
(2) 方程 f(x)=x4-4x3+1=0.
由f(x)= 4x2(x-3)=0 得驻点x1=0, x2=3.
该二点将实轴分为三个区间:
(-∞, 0), (0, 3),(3, +∞)
f(x)在此三个区间上的符号分别为“-”、“-”、“+”,
又知 f(-∞)>0, f(0)=1>0, f(3)=-26<0, f(+∞)>0.
可见f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3), (3, +∞), 又f(4)=1>0, 所以第二根的隔根区间可缩小为(3, 4).
以上分析可用下表表示
x
(-∞,0)
0
(0,3)
3
(3,4)
4
(4,+∞)
f(x)
f (x)
-
↘
0
+
-
↘
0
-
+
↗
++
+
↗
隔根区间
(0,3)
(3,4)
2. 逐步搜索法
从区间[a, b]的左端点 a 出发, 按选定的步长h 一步步向右搜索,若
f(a+jh)·f(a+(j+1)h)<0 (j=0,1,2,)
则区间[a+jh, a+(j+1)h]内必有根. 搜索过程也可从b开始,这时应取步长 h<0.
二分法
设f(x)在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在[a, b]
内有方程的根. 取[a, b]的中点
将区间一分为二. 若 f (x0)=0, 则x0就是方程的根, 否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.
若f(a) ·f(x0)<0, 则x*∈(a, x0), 令