文档介绍：第三章离散系统的时域分析
LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
二、差分方程的经典解
三、零输入响应和零状态响应
单位序列响应和阶跃响应
一、单位序列响应
二、阶跃响应
卷积和
一、序列分解与卷积和
二、卷积的图解
三、不进位乘法
四、卷积和的性质
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第三章离散系统的时域分析
LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
设有序列f(k),则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。
仿照连续信号的微分运算,定义离散信号的差分运算。
1. 差分运算
离散信号的变化率有两种表示形式:
LTI离散系统的响应
(1)一阶前向差分定义:f(k) = f(k+1) –f(k)
(2)一阶后向差分定义:f(k) = f(k) –f(k –1)
式中,和称为差分算子,无原则区别。本书主要用后向差分,简称为差分。
(3)差分的线性性质:
[af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k)
(4)二阶差分定义:
2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) –f(k-1)
= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)
(5) m阶差分:
mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)
因此,可定义:
LTI离散系统的响应
2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。
例:若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。
解: y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)
y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2
y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 ……
一般不易得到解析形式的(闭合)解。
LTI离散系统的响应
二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
与微分方程经典解类似,y(k) = yh(k) + yp(k)
1. 齐次解yh(k)
齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + …+ a0y(k-n) = 0
其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + …+ a0λ– n = 0 ,即
λ n + an-1λn– 1 + …+ a0 = 0
其根λi( i = 1,2,…,n)称为差分方程的特征根。
齐次解的形式取决于特征根。
当特征根λ为单根时,齐次解yn(k)形式为: Cλk
当特征根λ为r重根时,齐次解yn(k)形式为:
(Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
LTI离散系统的响应
2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1) 。
(1) 激励f(k)=km (m≥0)
①所有特征根均不等于1时;
yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0
②有r重等于1的特征根时;
yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]
(2) 激励f(k)=ak
①当a不等于特征根时; yp(k)=Pak
②当a是r重特征根时;
yp(k)=(Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak
(3)激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e±jβ;
yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
例:若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)= – 1;激励f(k)=2k,k≥0。求方程的全解。
解: 特征方程为λ2 + 4λ+ 4=0
可解得特征根λ1=λ2= – 2,其齐次解
yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k
特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0
代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ,
解得 P=1/4
所以得特解: yp(k)=2k–2 , k≥0
故全解