文档介绍：数学分析(山东师范大学2010年)
求下列极限(12分)
1、,其中为个正数.
解:不妨设,则.
因为,
,
所以,进而.
2、.
解:

求下列函数的导数或微分(16分)
设函数,求.
解:因为,,所以
2、求由方程所确定的函数的微分.
解: 方程两端分别对求导得:
,
进而得
,
,
所以
三、计算下列各题(46分)
1、.
解:令,则,
进而.
2、,其中是由所围的区域.
解:进行变量替换,
:由所围的区域.
因为,
.
3、计算,其中是沿圆周由依逆时针方向到的半圆,为常数.
解:令,,取:,, 方向依逆时针方向,则
,,
进而
,
其中为曲线所围成的圆.
4、计算, 其中是锥面, 被圆柱面截取的部分.
解:锥面, 可表示为, 则, .
锥面, 被圆柱面截取的部分在面上的投影为:,.进而
,
其中表示圆的面积,.
5、设, 计算的值.
解:因为
,
所以不存在.
四、求在中的傅里叶级数(8分).
解: 延拓,为偶函数,则的周期为,,所以的傅里叶级数的系数,.而
,
其中, .
所以,
即, , .
五、求二元函数在上的极值点(8分).
解:因为,所以,.
令,则的驻点(稳定点):, :.
又因为,,, 所以
,,.,,.
因为,, 所以:为函数的极小值点.
因为, 所以:不是函数的极值点.
六、讨论下列各题
1、设函数,试讨论在点的连续性、偏导数存在性、可微性.
解:(1)连续性
因为,所以在点连续.
(2)偏导数存在性
因为,
,
所以与均存在,且都等于零.
(3)可微性
因为
,
所以,进而函数在点可微.
2、试确定函数项级数的收敛域,并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性.
解: (1)收敛域
令,则当时,单调递减,并且,所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法,,并设.
(2)连续性
因为
,
其中为常数,,,所以和函数在内连续,即函数项级数在内连续.
(3)可微性
因为函数项级数在内一致收敛,原因如下:
,
并且函数项级数的每一项的导数在内连续,所以和函数在内可微,并且.
七、