文档介绍：第 4 讲直线、平面平行的判定与性质
(1)定义:如果一条直线和一个平面____公共点,那么这条
直线这个平面____.
(2)判定方法:
①利用定义;
没有
平行
②判定定理:如果平面外的一条直线与_______的一条直线
平行,那么这条直线与这个平面平行;
平面内
③其他方法:如果两个平面平行,则其中一个平面内的___
______行于另一个平面.
任
一直线
(3)性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的
任一平面与此平面的_______与该直线平行.
相交线
(1)定义:如果两个平面____公共点,那么这两个平面互相
_____.
(2)判定方法:
①利用定义;
②判定定理:如果一个平面内的两条______直线与另一个平
面平行,那么这两个平面平行;
③其他方法:垂直于_______直线的两个平面互相_____.
没有
平行
相交
同一条
平行
(3)性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,
那么它们的交线_____.
平行
,正确命题的个数是(
)
A
①若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l∥α;
②若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意一条直线都
平行;
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么
另一条直线也与这个平面平行;
④若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意一条直线都
没有公共点.
,那么这条直线与
这两个平面的交线的位置关系是(
)
C
13-4-1,过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两
)
条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有(
图 13-4-1
条
条
条
条
D
m、n,下列命题中假命题是___
②③④
(填序号).
①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α;
②若 m∥α,n∥α,则 m∥n;
③若 m⊂α,n∥α,则 m∥n;
④若 m、n 与α所成的角相等,则 m∥n.
:
①过平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多
条;
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面
的交线平行;
③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面
与两异面直线都平行;
①
④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成
的角相等.
其中正确的命题序号为_____.
②④
线线、线面、面面平行的判定
考点 1
例 1:如图 13-4-4,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面
对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F,且 B1E=:EF
∥平面 ABCD.
图 13-4-4
解题思路:在寻求线线平行时利用中位线性质,等比例截
割定理,平行四边形的性质等等来判定.
证法一:分别过 E、F 作 EM⊥AB 于 M,FN⊥BC 于 N,连
接 MN.
∵BB1⊥平面 ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
∴EM∥BB1,FN∥BB1.
∴EM∥FN.
又∵B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形 MNFE 是平行四边形,∴EF∥MN.
又 MN⊂平面 ABCD,EF平面 ABCD,
∴EF∥平面 ABCD.
=
,
=
,∴FG∥B1C1∥BC,
证法二:过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G,
连接 GF,则
B1E B1G
B1A B1B
∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴
C1F B1G
C1B B1B
又 EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面 EFG∥平面 ABCD.
又∵EF⊂平面 EFG,∴EF∥平面 ABCD.
(1)证明两个平面平行利用两个平面平行的判
定定理及推论,寻找线线平行是关键.(2)另外应用判定定理时
要注意平面内两条直线的相交性.
【互动探究】
13-4-5,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的
一个截面,且截面为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH.
(2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 的周长的取值范围.
图 13-4-5
(1)证明:∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥HG.
∵HG⊂平面 ABD,∴EF∥平面 ABD.
∵EF⊂平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB,
∴EF∥AB.∴AB∥平