文档介绍：2012年各地中考数学压轴题精选_解析版
【】
,n(0<m<n)的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P(4,1),两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.
(1)求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式;
(2)求两圆的圆心O1,O2之间的距离d;
(3)令四边形PO1QO2的面积为S1,四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究:是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,请求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
解答:
解:(1)由题意可知O1(m,m),O2(n,n),
设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有:
(0<m<n),解得,
∴所求直线的解析式为:y=x.
(2)由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称.
∵P(4,1),直线O1O2解析式为y=x,∴Q(1,4).
如解答图1,连接O1Q.
∵Q(1,4),O1(m,m),根据两点间距离公式得到:
O1Q==
又O1Q为小圆半径,即QO1=m,
∴=m,化简得:m2﹣10m+17=0 ①
如解答图1,连接O2Q,同理可得:n2﹣10n+17=0 ②
由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根,
解③得:x=5±,∵0<m<n,∴m=5﹣,n=5+.
∵O1(m,m),O2(n,n),
∴d=O1O2==8.
(3)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a<0.
如解答图2,连接PQ.
由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2.
∵P(4,1),Q(1,4),
∴PQ==,又O1O2=8,
∴S1=PQ•O1O2=××8=;
又S2=(O2R+O1M)•MR=(n+m)(n﹣m)=;
∴==1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1.
∵抛物线过点P(4,1),Q(1,4),
∴,解得,
∴抛物线解析式为:y=ax2﹣(5a+1)x+5+4a,
令y=0,则有:ax2﹣(5a+1)x+5+4a=0,
设两根为x1,x2,则有:x1+x2=,x1x2=,
∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1﹣x2|=1,
∴(x1﹣x2)2=1,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=1,
即()2﹣4()=1,化简得:8a2﹣10a+1=0,
解得a=,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下(即a<0)矛盾,
∴不存在这样的抛物线.
【42. 2012六盘水】
,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.
考点:相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;二次函数的最值;勾股定理;勾股定理的逆定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题)。
专题:代数几何综合题;压轴题。
分析:(1)由PQ∥BC时的比例线段关系,列一元一次方程求解;
(2)如解答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D,构造比例线段,求得PD,从而可以得到S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S的最大值;
(3)要点是利用(2)中求得的△AQP的面积表达式,再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判别式小于0,则可以得出结论:不存在这样的某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;
(4)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ、QD和PD的长度;然后在Rt△PQD中,求得时间t的值;最后求菱形的面积,值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍,从而可以利用(2)中△AQP面积的表达式,这样可以化简计算.
解答:解:∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.
(1)BP=2t,则AP=10﹣2t.
∵PQ∥BC,∴,即,解得t=,
∴当t=s时,PQ∥BC.
(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.
∴P