文档介绍：重庆科技学院
数学建模
题目确定高精度参数问题
院(系) 数理学院
指导教师
学生姓名
专业班级应数普09
学号 2009443406
2012年01月 10日
一、问题的重述
考虑航天器在仅受到地球万有引力、航天器自身发动机作用力的作用下作平面运动,将地球和航天器视为质点,建立航天器运动的数学模型。
显然这样的数学模型在精度上是远远不能满足实际需要的,在其他要求精确制导等有关高科技的实际问题中,我们都面临着类似的问题:我们必须建立高精度的数学模型,必须高精度地估计模型中的大批参数,因为只有这样的数学模型才能解决实际问题,而不会出现差之毫厘,结果却失之千里的情况。由于航天器的问题太复杂,本题仅考虑较简单的确定高精度参数问题。
假设有一个生态系统,其中含有两种生物,即: A生物和B生物,其中A生物是捕食者,B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为,被捕食者B数目为,它们之间满足以下变化规律:
初始条件为:
其中为模型的待定参数。
通过对此生态系统的观测,可以得到相关的观测数据。要利用有关数据,解决以下问题:
1) 在观测数据无误差的情况下,若已知,求其它5个参数?
2)若也未知,至少需要多少组观测数据,才能确定参数?
3) 在观测资料有误差(时间变量不含有误差)的情况下,确定参数在某种意义下的最优解,并与仿真结果比较,进而改进数学模型。
4) 假设连观测资料的时间变量也含有误差,确定参数在某种意义下的最优解。
由于航天器的问题太复杂,下面本题仅考虑较简单的确定高精度参数问题。
2 航天器运动的数学模型
模型假设
(1)航天器仅受地球万有引力和航天器自身发动机作用力下做平面运动;
(2)将地球和航天器视为质点。
(1) .G 是地球万有引力;
(2) . F0 是发动机作用力;
(3) . F 是二力合成后的平面力;
(4) .X,Y,Z 是三维空间对应的坐标轴,x,y,z 是空间中点对应的坐标轴 X,Y,Z 上的值。
模型的建立
图(一)航天器受力图
分析上图,航天器在平面力下,作高度为,用模型假设中条件和牛顿运动第二定律建立下列模型:
'
ìx (t) = x(t) a + a y(t )
ï 1 2
í
'
y (t) = y(t ) a +a x(t)
ï
x(t ) = a
0 5
í
a 代表净自然增长率;
a a a
我们可以得到系统的平衡点为 P (- ,- ) ,被捕食者的数量围绕- 周
说明:此模型是最理想状况下的模型,我们并没有复杂的参数!
二、捕食者与被捕食者生态系统问题的分析
题中假设有一个生态系统,含有两种生物,A生物和B生物, A生物是捕食者,B生物是被捕食者。假设时刻捕食者A的数目为,被捕食者B数目为,它们之间满足以下变化规律:
初始条件为:
该模型中,捕食者独自存在时死亡率,;被捕食者对捕食者的供养能力;是被捕食者的独立生存增长率,;是捕食者掠取被捕食者的能力,。[2]
这个方程就是生态系统中被捕食者与捕食者的volterra模型,为模型的待定参数。对于该模型理论上不存在解析解,因此我们不能通过参数拟合确定模型的参数。Volterra模型在给定参数和初始值的情形下可以采用数值积分获得任意时间点的数值解。
根据volterra模型进行一些公式推导如下:
两个方程相除得:
移项得:
两边积分:
得到相轨方程:
移项得:
该式右边为
只与系统初始状态有关,令
易知,将(5)式代入(4)式得到
式中方程两边同除以C,得:
在(7)式中,令
,,,
得到
这一方程体现了Volterra模型中两个变量之间的变化关系,我们称此方程为相轨方程。进一步研究相轨方程,可以发现Volterra模型中两个变量呈现周期性变化。
第一问,对来说,相轨方程是一个4未知数的方程, DATA1中有6组数据,用6组数据确定4个可以采用极小范数最小二乘解。又因为已知,C可求,从而可求,由于各观测值真实准确,,可取DATA1中任意一组数据,不失一般性,我们取第一组数据为初始值。
第二问,我们可以证明参数C与系统周期成反比,由参考资料可以知道volterra模型中的含义,从而确定C的正负性,在未知的情况下,求C可以从C与时间的关系入手,我们先在DATA1的6组数据中取4组算出,然后
设计一个的新生态系统,以无误差的观测数据DATA1为准,设计搜索算法找到与DATA1中x,y值极为接近的数值点,找到对应的观测时间,得到观测间隔,这个观测间隔与DATA1中已知的观测间隔一起可以求出C,从而得到,,同第一问。
第三