试验优化设计-数学建模非线性规划_6_.ppt

文档介绍：非线性规划 (Nonlinear Programming)
第六章一般的非线性规划问题
问题概论
(模型) min f (x)
s .t
1
(两类问题)无约束极值问题与约束极值问题
(一些基本定义)
梯度
Hesse矩阵

obi矩阵
2
§ 最优解分类(注:不一定存在)
整体(全局)最优解
局部最优解(已有算法基本都是求局部最优解的)

§ 凸集与凸函数
凸集
(严格)凸函数称定义在凸集K上的实值函数f (x)为凸函数,若
凹函数
3
凸规划(图集上凸函数的极小化问题)
设、均为凸集,则也是凸
集,对任意实数ß, 是凸集。(证明)(推广)
有限个凸集的交集必是凸集
(分离定理)K为闭凸集, 则

(支撑超平面定理)
4
若均为凸集K上的凸函数,则

也是K上的凸函数。(请证明)
设f (x)是凸集K上的凸函数,则实数C,水平集

必为凸集。
若f (x) 在开集K 中可微,则f 是K上的(严格)凸函数当且仅当
5
证明(充分性) 任取,记
由条件,
(必要性)
6
令
此即需证。
若 f (x) 两阶可微,则有以下的定理:
设f (x)在开凸集K中二阶连续可微,f 为凸函数的充要条件为:
证明:(充分性)
7
此处
从而,

(必要性)
任取
将在 x 处展开:
8
令得

证明
9
此即说明f 是严格凸函数。

证明
当充分小时在的邻域中,从而导出矛盾,证毕
10