文档介绍：求极限的方法
摘要:本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法,并结合具体的例子,指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
关键词:极限、方法、类型、洛比达法则、定积分
一引言
高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多。针对这种情况,本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。
二具体方法
⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限
定理1①:若极限和都存在,则函数,
当时也存在且
①
②
又若,则在时也存在,且有
利用极限的四则运算法则求极限,条件是每项或每个因子极限存在,一般所给的变量都不满足这个条件,如、等情况,都不能直接用四则运算法则,必须要对变量进行变形,设法消去分子、分母中的零因子,在变形时,要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
例1:求
解:原式=
⒉用两个重要的极限来求函数的极限
①利用来求极限
的扩展形为:
令,当或时,则有
或
例2:
解:令t=.则sinx=sin( t)=sint, 且当时
故
例3:求
解:原式=
②利用来求极限
,令所以
例4: 求的极限
解:原式=
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。
⒊利用等价无穷小量代换来求极限
所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量,记作
定理2②:设函数在内有定义,
且有
若则
若则
证明:①
②可类似证明,在此就不在详细证明了!
由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限
例5:求的极限
解:由而;
();()
故有=
注:由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的
等价无穷小量,如:由于,故有又由于故有arctanx,(x).
另注:在利用等价无穷小代换求极限时,应该注意:只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中,若因有tanx,而推出= 则得到的结果是错误的。
⒋利迫敛性来求极限
定理3③:设f(x)= g(x)=A,且在某内有f(x)h(x)g(x),
则h(x)=A
例6:求x的极限
解:1x<1-x. 且由迫敛性知
x=1
做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。
⒌利用函数的连续性求极限
利用函数的连续性求极限包括:如函数在点连续,则及若
且f(u)在点a连续,则
例7:求的极限
解:由于及函数在处连续,故==。
⒍利用洛比达法则求函数的极限
在前面的叙述中,我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限,在此笔者叙述一种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限,分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限,这个方法通常称为洛比达法则。
下面就给出不定式极限的求法。
对于型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限
定理4④:若函数f(x)和函数g(x)满足:
①==0。
②在点的某空心邻域内两者都可导,且
③=A。(A可为实数,也可为或)
则==A。
注:此定理的证明可利用柯西中值定理,在此,笔者就不一一赘述了。
例8:求
解:容易检验
f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件①和②,又因== -
故由洛比达法则求得,
==
在此类题目中,如果仍是型的不定式极限,只要有可能,我们可再次利用洛比达法则,即考察极限是否存在。当然,这是和在的某邻域内必须满足上述定理的条件。
例9:求
解:利用(),则得
原式===
在利用洛比达法则求极限时,为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便,可用适当的代换,如下例,
例10:求
解:这是型不定式极限,可直接运用洛比达法则求解,但是比较麻烦。如作适当的变换,计算上就会更方便些,故