1963年全国高考数学试题及其解析.doc

文档介绍：1963年全国高考数学试题及其解析
把OA绕着O点按反时针方向旋转150°,设A点到达的位置为B,写出B点所表示的复数的代数式.
,AB为半圆的直径,CD⊥=1,AC:CB=4:1,求CD.
,求证这两条垂线所决定的平面垂直于二面角的棱.(要求画图)
,-
:sin3x-sinx+cos2x=0.
,2,3,4,7,9组成没有重复数字的五位数,问;
(1)这样的五位数一共有多少个?
(2)在这些五位数中,有多少个是偶数?
(3)在这些五位数中,有多少个是3的倍数?
(限定在实数范围内)
,线段CD与⊙O相交于A、B两点,且AC=BD,
又CE、DF分别与⊙O相切于E、F.
求证:△OEC≌△OFD.
,半径为1的球,内切于圆锥(即直圆锥),已知圆锥的母线与底面的夹角是2θ.
(3)当θ是什么值的时候,圆锥的全面积最小?(θ用反三角函数表示)
(图中V是圆锥的顶点,VB是母线,O是球心,A是球和圆锥底面的切点.)

1963年试题答案
以cosθ除分式的分子和分母,得
:
∴辐角是k·360°+60°.
(其中k为任何整数)
(2)B点所表示的复数的模数是2,而辐角的主值是60°+150°=210°,
∴B点所表示的复数是:
2(cos210°+isin210°)
:∵AB=1,AC:CB=4:1,
:
已知:二面角M-AB-N,P是M-AB-N内任意一点,PC垂直平面M于C,PD垂直平面N于D.
求证:平面PCD⊥AB.
证明:∵PC⊥平面M,
∴PC和AB垂直,
∵PD⊥平面N,
∴PD和AB垂直.
∴平面PCD⊥AB.
证法二:
已知:同证法一.
求证:同证法一.
证明:∵PC⊥平面M,
∴过PC的平面PCD⊥平面M.
∵PD⊥平面N,
∴过PD的平面PCD⊥平面N.
∴平面PCD垂直平面M和N的交线.
而AB即是平面M和N的交线,
∴平面PCD⊥AB.
:-=-×
=-×
=-
∴-=.
:
sin3x-sinx+cos2x=0,
2cos2xsinx+cos2x=0,
cos2x(2sinx+1)=0
(n是整数)
(n是整数)
解法二:
sin3x-sinx+cos2x=0,
(3sinx-4sin3x)-sinx+(1-2sin2x)=0,
整理,得 4sin3x+2sin2x-2sinx-1=0.
分解,得 (2sinx+1)(2sin2x-1)=0.
(n是整数)
:
(1)从这六个数字中,取出五个数字,共能排成
个五位数.
(2)在所求的偶数中,末位必须取2、4这两个数字中的一个,这有两种方法,取定末位后,再从其余五个数字中任取四个,排成其他四位,这有
,共有
个五位数是偶数.
(3)一个整数是不是3的倍数,要看它的各位数字之和是不是3的倍数,这六个数字1,2,3,4,7,9之和是26,因此只有除去2,,所取的五个数字必须是1,3,4,7,,共有
P5=5!=120
个五位数是3的倍数.
:
(2)的两边平方,得
xy+3=x2,
即 x2-xy=3. (3)
将(1)的两边乘以3,得
3x2-6xy-3y2=3. (4)
从(4)的两边分别减去(3)的两边,得
2x2-5xy-3y2=0.
分解,得
(2x+y)(x-3y)=0,
2x+y=0,x-3y=0.
检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解;x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
∴方程组的解是:
解法二:
(2)的两边平方,得
代入(1),得
整理,得
2x4-11x2+9=0.
分解,得
(x2-1)(2x2-9)=0.
x2-1=0,∴x1=1,x2=-1;
将x的值代入(3),得
检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解
;x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
∴方程组的解是:
:
连结OA,OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA;
∴∠OAC=∠OBD.
又AC=BD,∴△OAC≌△OBD,∴OC=OD.
∵CE、DF分别切⊙O于E、F,∴∠OEC、OFD都是直角.
在△OEC与△OFD中:
∵∠OEC=∠OFD=90°,OE=OF,OC=