文档介绍：第二章线性方程组

本章主要讨论向量组的线性性质,线性方程组的可解条件及其解法等内容.
(一)、向量组的线性相关性
列向量(行向量)是一类特殊的矩阵,因而它的运算(如加法、数乘、转置等),例如,令
(字母新罗马用斜体)
则
(字母新罗马用斜体)
这表明:维列向量与维行向量的积是阶方阵,维行向量与维列向量的积是一个数,这个数被定义为这两个向量的内积(参见第三章).
为了研究一组同维数的列向量间的相互关系,.
假设有一组维列向量:
(字母新罗马用斜体)
构造矩阵
.
则向量组线性相关的充要条件是. 因此,可用下面步骤判断向量组的线性相关性.
第一步:对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵;
第二步:行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩;
第三步:如果,则线性相关,否则线性无关.
在向量组线性相关的情况下,,因而,:
第一步:对矩阵
施行初等行变换化为行标准形;
第二步:,所以,是的一个最大线性无关组.
第三步:,
则矩阵中的列向量也满足关系式
.
因此,位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵对应列的相应分量.
(二)、线性方程组理论
线性方程组理论是一个应用很广的数学理论,它包含解的存在性、
(1)
其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为

存在性:线性方程组(1)有解的充分必要条件是
唯一性:若则线性方程组(1)有唯一解;若则线性方程组(1)有无穷多解.

第一步: 写出线性方程组(1)的增广矩阵并利用矩阵的初等行变换将变为行标准形;
第二步:分别求出线性方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩和
,,停止求解;
第三步:若线性方程组(1)的解唯一,则根据的行标准形直接求解,完成计算.
若线性方程组(1)的解不唯一,则根据的行标准形求线性方程组(1),,其个数为其它未知量为自由变量,其个数为然后将所有的自由变量赋值为零,求得特解.
第四步:求线性方程组(1);然后,分别取阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值,并根据的行标准形求得导出组的基础解系.
第五步:用线性方程组(1)的特解与导出组的基础解系表示线性方程组(1)的解.
值得注意的是,对于一个数学问题(或实际问题),它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容,这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式.

(一)基本要求
(方程组形式,矩阵形式,向量形式).
,熟练掌握求解线性方程组的消元法.
(只有零解)的充分必要条件,熟悉非齐次线性
方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.
、n维向量空间概念,熟悉n维向量的线性运算.
、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理,会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.
,会求向量组的最大无关组与秩.
.
.
(二)疑难解析
1、用消元法求解线性方程组时,能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗?
答:用高斯消元法求解线性方程组,是对线性方程组作三种初等变换:(1)某个方程乘非零常数k;(2)一个方程乘常数k加到另一方程;(3)对换两个方程的位置,将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换,,求解线性方程组时,一般不