文档介绍：【2013年中考攻略】专题2:待定系数法应用探讨
在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数),称作待定系数。然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分,在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“已知x2-3=(1-A)·x2+Bx+C,求A,B,C的值”,解答此题,并不困难,只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值。这里的A,B,C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“点(2,﹣3)在正比例函数图象上,求此正比例函数”,解答此题,只需设定正比例函数为y=kx,将(2,﹣3)代入即可得到k的值,从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。例如:“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则,代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是:
(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;
(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);
(3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用:在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中,根据
右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程(组),解出方程(组)即可求得答案。
典型例题:
例:(2011云南玉溪3分)若是完全平方式,则=【】
B.-9 C.±9 D.±3
【答案】A。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设,则,
∴。故选A。
练习题:
1.(2012江苏南通3分)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于【】
2.(2012贵州黔东南4分)二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是▲。
3.(2011江苏连云港3分)计算(x+2) 2的结果为x 2+□x+4,则“□”中的数为【】
A.-2 C.-4
4.(2011湖北荆州3分)将代数式化成的形式为【】
A. B. C. D.
二. 待定系数法在分式求值中的应用:在一类分式求值问题中,已知一比例式求另一分式的值,可设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求分式,从而使问题获解。
典型例题:
例:(2012四川凉山4分)已知,则的值是【】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵,∴设,则b=5k, a=13k,把a,b的值代入,得,
。故选D。
练习题:
1.(2012北京市5分)已知,求代数式的值。
2.(2011四川巴中3分)若,则= ▲。
三. 待定系数法在因式分解中的应用:在因式分解问题中,除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相
乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解,特别对于三项以上多项式的分解有很大作用(如:x3-6x2+11x-6,,目前这类考题很少,但不失为一种有效的解题方法)。
典型例题:
例1:(2012湖北黄石3分)分解因式:= ▲。
【答案】(x-1)(x+2)。
【考点】因式分解。
【分析】设,
∵,,解得或,
∴。
〖注:本题实际用十字相乘法解题更容易,但作为一种解法介绍于此。〗
例2:分解因式: ▲。
【答案】。
【考点】因式分解。
【分析】∵,
∴可设。
∵,
∴。
比较两边系数,得。
联立①,②得a=4,b=-1。代入③式适合。
∴。
练习题:
1. (2012四川南充3分)分解因式: = ▲。
2. (2012山东潍坊3分)分解因式:x3—4x2—12x= ▲。
3. (2011贵州黔东南4分)分解因式: ▲。
四. 待定系数法在求函数解析式中的应用:待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数,我们常常先设它们为未知数,