文档介绍：矩阵秩的相关理论的证明
内容提要在矩阵理论中,矩阵的秩是代数学中一个非常重要的概念,在代数研究中有着重要的作用,它是研究线性方程组、向量空间、欧式空间、线性变换及二次型的一个有力工具。因而,了解矩阵的秩可以为更好地学习、研究代数方面打下基础。本文主要是讨论满秩矩阵秩中常见的一些性质、定理及结论,并且从Sylvester公式出发,去探讨一个以刻画矩阵秩的完美公式,并且去得到相关的一系列的结果。此外还研究了方程组的解与矩阵秩的关系;最后,就矩阵秩的证明方发及应用加以概括和总结。
关键词矩阵;矩阵的秩;行满秩阵;列满秩阵;Sylvester公式;伴随矩阵
一、矩阵及矩阵秩的定义
1、矩阵的定义
数域P上个数排成的S上列的表称为数域P上的矩阵,记为,简记A,也记为,即A=。
当时,即矩阵称为阶方阵。
如果A,B是同行矩阵(即行数相同,列数相同),且对应的元素相等,则称A与B相等,记为A=B.
矩阵秩的定义
设为矩阵, 如果存在的阶子式不为零, 而任何阶子式(如果存在的话)皆为零,则称数
为矩阵的秩, 记为.
规定零矩阵的秩等于零.
当, 称矩阵为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵.
推论设是阶方阵,则有, 。
证可以通过证明方程组与有完全相同的解得到结论成立。
假设,左边乘以后可得,即的解是的解
反之假设,则必有
假设则个元向量线性无关,与题矛盾
因此,结论成立。
从上述结论,我们可以知道阶方阵的秩的多少次方都是相等的
引理设是秩为的矩阵, 存在 1)可逆矩阵, 使得的后行全为0,
2)可逆矩阵, 使的后列全为0.
证存在可逆矩阵,, 使. (1)
令, 其中设为矩阵A 行的子块,
有.
得到结论一成立
再令, 其中设为矩阵A 列的子块,
有,
得结论二成立.
从上述定理,我们可以知道任意一个矩阵与其它的可逆矩阵相乘,秩是保持不变。
再来看下面的推论
推论设是一个矩阵, 是一个矩阵, 则
1)若, 则.
2)若, 则.
证 1)由上面的引理我们可以知道,存在非奇异矩阵,使,
又因为的秩为, 所以可得子块阶非奇异矩阵.
因此有.
2), , .
存在非奇异矩阵, , 为n阶非奇异矩阵
因此有
得到上述结论成立。
从上述推论我们可以得出结论:任意一个矩阵左(右)乘一列(行)满秩矩阵, 其秩是不变的;
推论设, 是数域上的满秩矩阵, 存在数域上的阶可逆矩阵, 使得.
证因为是列满秩矩阵, 所以存在阶可逆矩阵, 使得,
同理可知存在阶可逆矩阵, 使得,
因此有,
推出,
设, 则有.
得出结论成立。
推论设是阶实对称正定矩阵,是实矩阵, 则是列满秩矩阵的充分必要条件为正定.
证充分性: 由题为正定矩阵,
则对任意的实维列向量, 存在,
即,
又因为正定知, 所以得只有零解,
因此, 即是列满秩矩阵.
必要性: 因为, 所以有为实对称矩阵.
又因为是列满秩矩阵, 有, 因此只有零解.
所以对任意的实维列向量, 都有,
因此有, 即正定.
得出结论成立
我们已经知道在矩阵论中,矩阵的秩是最基本的概念之一,它最早是由Sylvester引进的。而矩阵的秩是则是矩阵诸多数量特征中既抽象又本质的数字特征之一,它是矩阵在初等变换下的不变量。而关于矩阵的秩有一系列的不等式,但是在矩阵秩的等式当中Sylvester与Frobenius不等式是两个最基本的不等式,它们在矩阵理论中也占有非常重要的地位。
我们先来看矩阵秩的一个基本结论是:
设是矩阵,是矩阵,且满足,则有
接着我们先来看 Sylvester不等式
定理(Sylvester(薛尔佛斯特)公式)
设分别是与矩阵, 则.
证: 由题有
,
又因为
,
所以有
即.
在Sylvester定理中, 我们可以将与分别是形如,,的矩阵时, 可以得出更多的结论:
推论1 设,,,则有.
证将,分块矩阵及其广义矩阵进行初等变换可得:
有,
即.
可得结论成立。
推论2 设, 则有.
推论3 设, 则.
有上面的推论,我们可以跟广泛一些,变可得下面的推论:
推论4 ,,,则有
.
证由推论1, 我们有
结论成立。
定理2( Frobenius(佛罗扁尼斯)公式)
假设设分别是与,矩阵, 乘积有意义, 则有
证设是矩阵, , 则存在阶可逆阵, 阶可逆阵, 使得
,
把适当分块, , 由上式有
,
所以有.
即
命题成立
由Frobenius定理我们也可以得出下面的推论
推论设为阶方阵, 为任意自然数.