数学与应用数学毕业论文-秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究.doc

文档介绍：秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究
( 莆田学院数学系指导教师: )
摘要:本文主要采用Jordan标准形的方法,极小多项式的理论,从矩阵的秩幂等性出发来研究其幂等性,.
关键词:秩幂等矩阵幂等矩阵矩阵的秩 Jordan标准形极小多项式
Abstract:In this paper, applying the method of the Jordan normal canonical and the minimum multinomial theory,we begin with the rank-idempotent matrices ,and establish a bridge between rank-idempotent matrices and idempotent matrices .Also we further the discusses of idempotent matrices and rank-idempotent matrices .
Keywords: Rank-idempotent matrix Idempotent matrix Rank of matrix Jordan normal canonical minimum multinomial.

为任意数域,为复数域. .,表示的值域, ,,是可逆矩阵时,有意义,且.
定义1. 设对任意,,则称为次幂等矩阵.
注:我们之所以强调幂等指数的最小性,是因为存在矩阵,,我们定义了次幂等矩阵.
定义2. 设,则称为幂等矩阵. 若,则简称为幂等矩阵.
现有文献[1-4][7][9-13],我们定义了幂等矩阵.
注:定义1与定义2的区别是在定义1中强调幂等次数的最小性,在定义2中只要求矩阵满足条件即可.
定义3 .设.,满足则称为为秩幂等矩阵.
注:,因为只要与的秩相等,就称其为秩幂等矩阵.
定义4. 设满足且,,,,则称为次幂等矩阵.
注:这样定义的矩阵是自身逐次乘方后首次出现与前面的相等的矩阵.
定义5. 设,若存在自然数使当时成立,则称为幂等矩阵.
注:这在粗略的只讨论满足条件的矩
阵时是可取的.
定义4强调了幂等次数的最小性,而且定理5只是讨论满足条件的矩阵.
本文将分别对次幂等矩阵与幂等矩阵进行讨论.
定义6. 设,若存在自然数使且对有则称为次秩幂等矩阵.
,而特别的在定义6中令则本质为且也即不包括可逆矩阵.
定义7. 设,次数最低的,首项系数为1的,.
关于幂等矩阵(,与定义2中的幂等矩阵相同,并不强调幂等次数的最小性)的刻画已有不少文献: [1], [2], [3], [4], [7], [9],[10],[11],[12],[13].其中文[9-13]都是从秩的等式去刻画.
文[1-3]给出了三幂等矩阵(满足)的不同形式的等式.
命题1 (见文[1],()式])
设,, 则

命题2 (见文[2],推论1)
设,, 则


;
;

注()():令满足,
命题3 (见文[3],()()式)
设, 则
特别地,若则有
文[4-5] 给出了一般的幂等矩阵(满足)的等价刻画.
命题4 (见文[4])
设,为正整数,则


命题5 (见文[4]推论1)
设, 为正整数, 则对任意的自然数有
如果.
命题6 (见文[5]()式)
设, 则
其中,
.
利用此命题而易得
以上这些命题都可通过用分块矩阵初等变换的方法证得.
文[6-8]主要从矩阵的值域,:
命题7 (见文[6],命题4,5,7,8)
为幂等矩阵,则
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
.
命题8 (见文[7]