文档介绍：要点梳理
如果一个数列,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母表示.
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= .
§ 等比数列及其前n项和
从第二项起,后项与相邻前项的比是
一个确定的常数(不为零)
公比
q
a1·qn-1
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若,那么G叫做a与b的等比中项.
(1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{ an}( ≠0), ,{ },{an·bn},
仍是等比数列.
G2=a·b
qn-m
ak·al=am·an
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.
qn
基础自测
=2,数列{an+1}是以3为公比的等比数列,则a4的值为( )
解析由已知得an+1=(a1+1)·qn-1,
即an+1=3·3n-1=3n,
∴an=3n-1,∴a4=34-1=80.
A
{an}中,a4=4,则a2·a4·a6等于( )
解析∵a4是a2与a6的等比中项,
∴a2·a6= =16.∴a2·a4·a6=64.
D
3.(2009·广东文,5)已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2 ,a2=1,则a1=( )
B. C. D.
解析设公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2={an}的公比为正数,所以q= ,故a1=
C
{an}中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值是( )
B.-2 D.-3
解析方法一依题意,q≠1,
∵=7, ①
=63. ②
②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.
方法二∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,
而a4+a5+a6=S6-S3=56,
∴7·q3=56,q3=8,q=2.
A
5.(2008·浙江理,6)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于( )
(1-4-n) (1-2-n)
C. (1-4-n) D. (1-2-n)
解析∵
∴an·an+1=4·( )n-1·4·( )n=25-2n,
故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=23+21+2-1+2-3+…+25-2n
C
题型一等比数列的基本运算
【例1】已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= ,求{an}的通项公式.
根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组.
解方法一设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
a2= a4=a3q=2q,
∴+2q=
解得q1= ,q2=3.
思维启迪
题型分类深度剖析
①当q= 时,a1=18,
∴an=18×( )n-1= =2×33-n.
②当q=3时,a1= ,
∴an= ×3n-1=2×3n-3.
综上所述,an=2×33-n或an=2×3n-3.
方法二由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4= ,
则a2,a4为方程x2- x+4=0的两根,