文档介绍：引子
定积分计算:用原函数(不定积分)
无法找到原函数F(x)
怎么办?
第五章数值微积分
§ 数值积分公式
§ 数值积分的余项
§ 复化求积法与步长的选取
§ 数值微分法
§ 数值积分公式
机械求积
Newton-Cotes公式
代数精度
Gauss求积公式
1. 机械求积
原理:定积分——曲边梯形的面积
理论基础:积分中值定理
f()=?
矩形公式与梯形公式
左矩形
右矩形
中矩形
梯形
机械求积一般公式
问题
适当取求积节点和求积系数
A0, …, An,计算函数值 f(x0),…, f(xn), 近似解
误差 T(f ) - Q(f )
2. Newton-Cotes公式
插值型求积公式: P(x)是f(x)的一个插值函数(linear, Lagrange, Hermite, spline等)
Newton-Cotes公式: 采用等距节点Lagrange插值
Cotes系数Ci (仅依赖于 n, i)
变量代换x=a+th
低阶Newton-Cotes公式
梯形公式(n=1)
Simpson公式(n=2)
Cotes公式(n=4)
数值稳定性: n<8时,Cotes系数非负且和为1
3 代数精度
定义: 若机械求积公式对所有幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确,则称它具有m次代数精度。
性质:具有m次代数精度对所有次数不超过m次的多项式准确。
代数精度:梯形公式(n=1)1次, Simpson公式(n=2)3次,Cotes公式(n=4)5次。
n为奇数时,n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n;
n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。
用代数精度构造插值公式
例题求A1, A2及x2,使求积公式
代数精度尽量高.
解:
得     A1=1/4, A2 =3/4,x2 =2/3