文档介绍：江河竞渡的优化模型
一、符号说明
:水流的速度单位:m/s
:游泳者的速度单位 m/sV:第一名游泳的速度单位:m/s
t:第一名游泳所用的时间单位:s
θ:游泳方向与水流方向的夹角
y:竞赛区两岸的垂直距离单位:m
S:竞赛区的水平距离单位:m
L:水的位移单位:m
t:游泳者所用的时间单位:s
:竞赛区第i段的垂直距离单位:m
:竞赛区的第i段的水平距离单位:m
1000
汉阳南岸咀
v(水)
1160
v
θ
武昌汉阳门
图1
二、模型的建立与求解
模型假设:
⑴不考虑风力对水速的影响。
⑵不考虑水温对人的体力影响。
⑶不考虑江面风浪等水情对人的影响。
⑷将起点和终点均看作一点,记为A,B。
⑸江面宽度保持不变,即两岸是保持平行的。
模型Ⅰ:(水流恒速模型)
问题1:
通过对本题的分析,利用流体力学原理及图论的分析方法,建立模型。,在14’8’’的时间内,水流的位移为:
L== m
断定游泳者的速度在逆水方向上有一分量,即游泳者速度的方向应与水流的反方向成一定夹角,设此夹角为θ,如图⑴。
于是可得
解得
由题可知,长江水流速度的大小和方向是不变的,令游泳者的速度为V,方向与水流反方向成θ角,于是可得:
消去,我们可以得到夹角θ与速度的关系为:。
当V=,代入可得。此时,=1160/(V×sinθ)=。即游泳者的V=,在此种情况下,游泳者所走的路线为从武昌汉阳门至汉阳南岸咀的一条直线。
问题2:
(1)在问题1的假设下,当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时,可以列出以下方程式
因为=,得出=。
即:当游泳者速度≥,他们能到达终点。
当游泳者速度<,他们将无法到达终点。
有分析可知:,,所以,日如果从一开始路线选择错误,将无法到达终点。
(2)模型中看出影响游泳者到达终点的因素主要是:水流速度、游泳者的速度V和该速度方向与水流方向的夹角θ,以及竞赛区域的水平距离S和垂直距离y。在2002年,全程长度较1934年要短的多,因此,若想到达终点,就必须要求游泳者速度比较快。
如图⑵,合速度OS应保持在OA直线上,B
A
S
M
α
N
O
图2
,根据力的平行四边形定则,ON=MS当MS⊥OA时,MS取得最小值。
根据已知,OB=1160m,OM=。在1934年时,当OA=5000m时,。
在2002年时,,。
显而易见,在1934年时,,就能到达对岸,而一般人的游泳速度要比这个速度大的多,因此在此前提下,路线略有变动,也不致被冲到下游,最终能够到达终点。而在2002年的这次比赛中,,且要求方向准确,因此友一定的难度,只有部分人员选择了正确的方向,而大部分人被冲到了下游,所以到达终点的人数较少。因此,2002年能游到终点的人数的百分率比1934年要小的多。
(3)由上面分析可知,能够到达终点的选手必须满足如下条件:
,。
,以调整方向选择正确的路线。
模型Ⅱ:(水速分段变化的模型)
问题3的求解
根据水的流速,将游泳路线分为三个阶段考虑,在每一阶段上速度为一定值,与第一问的情况大致相同,所走路线如图(3)所示。设在三段中,所用的时间分别为,且,于是可得以下关系:
目标函数为:。
结合模型Ⅱ通过编程求的最优解:即游泳者在个路段中的游泳方向与水流反方向的夹角分别为:各交界点坐标分别为:
A(,200),B(,960)
游泳者所走路线的函数方程为:
游泳者的路线在各段中均为直线,如图(3)所示。
竞渡共需时间:。
问题4的求解 960
200
O

x
1000
A
B
C
图3
y
1160
当水的流速为连续分布时,仍将此模型分为三个阶段。设在三个阶段的速度分别为,在第一阶段和第三阶段时,和y呈线性关系,为了计算时间,取这两段的平均速度为研究对象,于是可得:
所以的分布为:
与问题3大致相同,由程序同理可得:

共需时间为:
整个游泳过程中,设t时刻时游泳所处的位置为:
由题意可得:
解得:
在第一、三阶段中,我们取得是水流的平均速度,在此前提下选手的游泳