文档介绍：第十二讲计数综合
教学目标
、组合的意义;正确区分排列、组合问题;
、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;
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、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;
通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。
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知识点拨:
一、排列
一般地,从个不同的元素中取出()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
排列的基本问题是计算排列的总个数.
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数,我们把它记做.
根据排列的定义,做一个元素的排列由个步骤完成:
步骤:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有种方法;
步骤:从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种方法;
……
步骤:从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置,有(种)方法;
由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘。
二、组合
一般地,从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,。
一般地,求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步:
第一步:从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法;
第二步:将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法.
根据乘法原理,,组合数.
这个公式就是组合数公式.
例题精讲:
排列组合的应用
小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法?
(1)七个人排成一排;
(2)七个人排成一排,小新必须站在中间.
(3)七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间.
(4)七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边.
(5)七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上.
(6)七个人战成两排,前排三人,后排四人.
(7)七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
(1)(种)。
(2)只需排其余6个人站剩下的6个位置.(种).
(3)先确定中间的位置站谁,×=1440(种).
(4)先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置. (种).
(5)先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,(种).
(6)七个人排成一排时,,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列.(种).
(7)可以分为两类情况:“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,×3××2=2880(种).排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列。
用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?
个位数字已知,问题变成从从个元素中取个元素的排列问题,已知,,根据排列数公式,一共可以组成(个)符合题意的三位数。
用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数?
可以分两类来看:
⑴把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有(种)放法,对应24个不同的五位数;
⑵把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,,可以组成(个)不同的五位数。
由加法原理,可以组成(个)不同的五位数。
用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数;若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数?
从高位到低位逐层分类:
⑴千位上排,,或时