文档介绍：矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的
理论与应用分析
学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学
学生姓名: 学号:20085031220
指导教师: 职称:助教
摘要:矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化是对矩阵的研究有很大的意义,.
关键词:矩阵等价;矩阵合同;矩阵相似;矩阵的逆
The Theory And Application Analysis Of The Equivalence,Congruence,Similarity And Orthogonal Similarity Diagonalization Of Matrix
Abstract: The equivalence, congruence, similarity and orthogonal similarity diagonalization of matrices is important to the study of Matrix, and is also an important tool of problem-solving. Use the properties of them can help us solve many problems.
Key words: equivalence of matrices; congruence of matrices; similarity of matrices; inverse of a matrix朗读
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字典
0前言
本文从矩阵等价、合同、相似与正交相似对角化的定义、性质出发来探求判断两个矩阵的等价、合同、相似,.
1矩阵的等价
矩阵与称为等价的,如果可以由经过一系列初等变换得到.
反身性:,
对称性:若,则,
传递性:若,,则.
例1 用初等变换将下列矩阵化为标准型,
解
矩阵等价的判断
利用定义:如果可以由经过一系列初等变换得到,则称矩阵与称为等价的.
、等价的充分必要条件是有初等矩阵,,使得
矩阵等价的应用
矩阵的等价在线性代数中具有重要的作用,而且也是解题的重要工具。利用矩阵等价性解题的方法千奇百怪,,还对矩阵等价有更加深刻的了解与认识.
因为可逆矩阵总可以经过一系列初等变换化成单位矩阵,即存在一系列初等矩阵
,使得.
故
这说明如果用一系列初等行变化把可逆矩阵化为单位矩阵,那么同样的用着一系列初等行变换去化单位矩阵就得到.
把,这两个矩阵凑在一起,作成一个
按矩阵的分块乘法
例2 设,求.
解
所以
.
矩阵的等价
定义2 设,是数域上的两个阶矩阵,如果可以经过有限次初等变换化为,则称与等价,记作.
矩阵的等价具有:
反身性,即;
对称性,即如,则;
传递性,即如,,则.
如何判断两个矩阵的等价
根据矩阵的等价的定义:设,是数域上的两个阶矩阵,如果可以经过有限次初等变换化为,则称与等价.
与等价的充分必要条件是存在阶初等矩阵及阶初等矩阵,使
.
(3)与等价的充分必要条件是存在可逆矩阵,使
(4)与等价的充分必要条件是它们有相同的规范型;
(5)与等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子;
(6)与等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子;
(7)与等价的充分必要条件是它们有相同的秩和行列式因子.
2 矩阵的合同
定义3 数域上矩阵,称为合同的,如果有数域上可逆的矩阵,使得.
矩阵合同的性质
反身性:.
对称性:.
传递性:由和,即得.
矩阵合同的判断
利用定义:数域上矩阵,,如果有数域上可逆的矩阵,使得,则称,为合同的.
矩阵和合同的充分必要条件为可以经过一系列完全相同的初等列变换和行变换得到.
应用矩阵的合同求二次型的标准型及规范性
设是一数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型,简称二次型.
定义4 设;是两组文字,系数在数域中的一组关系式
,
那么此线性替换就称为非退化的.
令
,.
由于
,
所以二次型就可以写成
它的系数矩阵
,